Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
1. On a 1 + [tex]i\sqrt{3} [/tex] = [tex]2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3} }{2})[/tex] = [tex]2e^{i\frac{\pi }{3}} [/tex]
2. On en déduit que pour [tex]n[/tex]∈[tex]\mathbb{N}[/tex], [tex](1 + i\sqrt{3})^n [/tex] [tex]= (2e^{i\frac{\pi }{3})^n [/tex] [tex]= 2^ne^{i\frac{n\pi }{3}} [/tex], puis que
[tex](1 + i\sqrt{3})^n [/tex] ∈ [tex]\mathbb{R}[/tex]*₊, ⇔ [tex]2^ne^{i\frac{n\pi }{3}} [/tex] ∈ [tex]\mathbb{R}[/tex]*₊ ⇔ [tex]e^{i\frac{n\pi }{3}} [/tex] ∈ [tex]\mathbb{R}[/tex]*₊ ⇔ arg([tex]e^{i\frac{n\pi }{3}} [/tex]) = 0 [2[tex]\pi [/tex]]
⇔ [tex]n\frac{\pi }{3} = 0 [2\pi ] [/tex] ⇔ [tex]n =[/tex] 0 [6] ⇔ [tex]\exists k \in \mathbb{Z}, n = 6k.[/tex]
Les entiers naturels [tex]n [/tex] tels que [tex](1 + i\sqrt{3})^n \in \mathbb{R}[/tex]*₊ sont les 6[tex]k[/tex] où k∈[tex]\mathbb{N}[/tex].
En espérant t'avoir aidé au maximum !
