Réponse :
1) déterminer les coordonnées des points M et N
M milieu de (AB) ⇒ M((2+12)/2 ; (9+1)/2) =M (7 ; 5)
N // // (BC) ⇒ N(0 ; 8/2) = N0(0 ; 4)
2) G(x ; y)
a) sachant que les points A, G et N sont alignés, démontrer que
y = - 0.25 x + 4
puisque A , G et N sont alignés ⇔ vec(AG) et vec(GN) sont colinéaires ⇔ X'Y - Y'X = 0
vec(AG) = (x - 12 ; y - 1)
vec(GN) = (0 - x ; 4 - y)
⇔ - x(y - 1) - (4 - y)(x - 12) = 0 ⇔ - x y + x - (4 x - 48 - y x + 12 y) = 0
⇔ - x y + x - 4 x + 48 + x y - 12 y = 0 ⇔ - 3 x - 12 y + 48 = 0
⇔ 12 y = - 3 x + 48 ⇔ y = - 3/12) x + 48/12 ⇔ y = - 0.25 x + 4
b) justifier que vec(CG) a pour coordonnées (x +2 ; - 0.25 x + 5)
vec(CG) = (x + 2 ; y + 1) or y = - 0.25 x + 4
donc vec(CG) =(x+2 ; - 0.25 x + 4 + 1) = (x +2 ; - 0.25 x + 5)
c) en déduire les les coordonnées de G
vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = 0 ⇔ vec(AG)+vec(BG)+vec(CG) = 0
⇔ (x - 12 ; y - 1) + (x - 2 ; y- 9) + (x + 2 ; y+1) = vec(0)
⇔ x - 12 + x - 2 + x + 2 = 0 ⇔ 3 x - 12 = 0 ⇔ x = 12/3 = 4
⇔ y - 1 + y - 9 + y+1 = 0 ⇔ 3y - 9 = 0 �� y = 9/3 = 3
G(4 ; 3)
3) déterminer le réel k tel que vec(AG) = kvec(AN)
vec(AG) = (4 - 12 ; 3 - 1) = (- 8 ; 2)
vec(AN) = (0 - 12 ; 4 - 1) = (- 12 ; 3)
⇔ (- 8 ; 2) = k(- 12 ; 3) ⇔ - 12 k = - 8 ⇔ k = 8/12 = 2/3
⇔ 3 k = 2 ⇔ k = 2/3
Donc k = 2/3
4) à-t-on aussi vec(CG) = kvec(CM)
vec(CG) = (4 +2 ; 3+1) = (6 ; 4)
vec(CM) = (7 +2 ; 5+1) = (9 ; 6)
(6 ; 4) = k(9 ; 6) ⇔ 9 k = 6 ⇔ k = 6/9 = 2/3
et 6 k = 4 ⇔ k = 4/6 = 2/3
la réponse est oui on a bien vec(CG) = kvec(CM)
Explications étape par étape
