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Développer (n + 2)(n+3) et déterminer la valeur de l'entier natureln vérifiant :(n + 2)divise (n² + 5n+ 17).​

Sagot :

Leafe

Bonsoir,

[tex](n + 2)(n+3) = n^2 + 3n + 2n + 6 = n^2 + 5n + 6[/tex]

[tex]\textnormal{On a : $n+2 | n+2$ et $n+2|n^2 + 5n + 17$}[/tex]

[tex]\textnormal{Donc par combinaisons lin\'eaires : }[/tex]

[tex]n +2 | (n^2 + 5n + 17) - (n+3)(n+2)[/tex]

[tex]n +2 | n^2 + 5n + 17 - n^2 - 5n - 6[/tex]

[tex]n + 2 | 11[/tex]

[tex]\textnormal{11 est un nombre premier donc ses diviseurs dans $\mathbb{Z}$ sont}[/tex]  [tex]D(11) = \{-11;-1;1;11\}[/tex]

[tex]n+ 2 = -1[/tex]    [tex]n + 2 = -11[/tex]        [tex]n + 2 = 1[/tex]         [tex]n + 2 = 11[/tex]

[tex]n = -3[/tex]          [tex]n = -13[/tex]             [tex]n = -1[/tex]               [tex]n = 9[/tex]

[tex]\textnormal{On cherche un entier naturel donc 9 est une solution possible.}[/tex]

[tex]\textnormal{R\'eciproquement : }[/tex]

[tex]9 + 2 = 11[/tex]  [tex]\textnormal{et}[/tex]  [tex]9^2 + 5 \times 9 + 17 = 81 + 45 + 17 = 143[/tex]

[tex]\textnormal{Donc $11 | 143$ alors 9 est l'entier naturel v\'erifiant : $n+2|n^2 + 5n + 17$ }[/tex]

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