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Une entreprise fabrique des voitures électriques qu'elle commercialise. Le coût de fabri-
cation (en milliers deuros) de n voitures est modélisé par la fonction c définie sur l'inter-
valle [0;10] par c(n) = -0,1n³+2n²-2,1n+21
Une voiture est vendue au prix de 10 000 € et toutes les voitures fabriquées sont vendues.
On s'intéresse au bénéfice de lentreprise, c'est-à-dire à la différence entre la recette et le
coût de fabrication. Lorsque le bénéfice de l'entreprise est positif, on dit que la production
est rentable.
1) Calculer les coûts fixes de l'entreprise, c'est-à-dire la valeur de c(0);
2) Exprimer R(n), la recette (en milliers deuros) effectuée par l'entreprise en fonction de n;
3) Montrer alors que le bénéfice de l'entreprise peut s'exprimer, en milliers deuros, pour
tout ne [0;10], par B(n) = 0,1n³ - 2n² + 12,1n-21
4) Á l'aide de la calculatrice graphique, conjecturer l'intervalle du nombre n de voitures à
produire pour que la production soit rentable;
5) Vérifier que 3 est racine de B(n), c'est-à-dire que B(3) = 0;
6) Montrer que, pour tout ne [0; 10], B(n) = 0,1(n − 3)(n² − 17n+70)
-
7) En déduire un tableau de signe de la fonction bénéfice B : n→ B(n) sur [0;10];
8) Justifier que votre conjecture de la question 4) est vérifiée.
9) On définit le coût marginal de production Cm comme le coût de production d'une unité
supplémentaire quand on en a déjà produit n. On a donc cm(n) = c(n+1)-c(n).
Montrer graphiquement qu'on peut considérer le bénéfice de l'entreprise comme étant
maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente d'une voiture.
