Réponse :
bonjour c'est un exercice de terminale.
Explications étape par étape :
f(t)=-5e^(-t)+5e^(-0,5t) sur [0; +oo[
1a) si x tend vers +oo , -5e^(-t) tend vers 0- et 5e^(-0,5t) tend vers0+ mais on note que 1/e^t est <1/e^0,5t donc f(t) tend vers0+
b) la droite y=0 est une asymptote horizontale avec f(t)-y>0
2a) Dérivée on rappelle que la dérivée de e^u(x) est u'(x)*e^(u(x)
f'(t)=5e^(-t)-2,5e^(-0,5t)
on factorise 2,5e^(-t)
f'(t)=[2,5e^(-t)]*[2-e^(0,5t)] en application de la formule a^m a^n=a^(m+n)
e^(-t)*e^(0,5t)=e^(-0,5t)
2b) f'(t) =0 si e^(0,5t)=2
on passe par le ln
0,5t=ln2 donc t=2*ln2 =1,4 (environ)
2c) tableau de signes de f'(t) et de variations de f(t) sur [0; +oo[
x 0 2ln2 +oo
f'(t) + 0 -
f(t) 0 croi f(2ln2) décroi 0+
f(2ln2)=1,25 (environ)
4) on applique la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0)=2,5*(2-1) (x-0)+0=2,5x
équation de (T) y=2,5x
