Réponse :
Bonjour,
1)
[tex]4x^2 - 25 < 0\\\\\Leftrightarrow (2x)^2 - 5^2 < 0\\\\\Leftrightarrow (2x - 5)(2x + 5) < 0[/tex]
[tex]Soit \ \ 2x-5 = 0\\\\\Leftrightarrow 2x = 5\\\\\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]Soit \ \ 2x + 5 = 0\\\\\Leftrightarrow 2x = -5\\\\\Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]x[/tex] | [tex]-\infty[/tex] [tex]-\frac{5}{2}[/tex] [tex]\frac{5}{2}[/tex] [tex]+\infty[/tex] |
[tex]2x - 5[/tex] | – | – o + |
[tex]2x + 5[/tex] | – o + | + |
[tex](2x - 5)(2x + 5)[/tex] | + o – o + |
[tex]Pour \ tout \ x \in \ ] -\dfrac{5}{2} \ ; \ \dfrac{5}{2} \ [ \ , \ (2x - 5)(2x + 5) < 0[/tex]
2)
[tex]\dfrac{9x^2}{4} \geq \dfrac{(x + 1)^2}{9}\\\\\Leftrightarrow 9(9x^2) \geq 4(x + 1)^2\\\\\Leftrightarrow 81x^2 - 4(x^2 + 2x + 1) \geq 0\\\\\Leftrightarrow 81x^2 - 4x^2 - 8x - 4 \geq 0\\\\\Leftrightarrow 77x^2 - 8x - 4 \geq 0\\\\\Leftrightarrow 77x^2 - 22x + 14x - 4 \geq 0\\\\\Leftrightarrow 11x(7x - 2) + 2(7x - 2) \geq 0\\\\\Leftrightarrow (7x - 2)(11x + 2) \geq 0[/tex]
[tex]Soit \ \ 7x - 2 = 0\\\\\Leftrightarrow 7x = 2\\\\\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{7}[/tex]
[tex]Soit \ \ 11x + 2 = 0\\\\\Leftrightarrow 11x = -2\\\\\Leftrightarrow x = -\dfrac{2}{11}[/tex]
[tex]x[/tex] | [tex]-\infty[/tex] [tex]-\frac{2}{11}[/tex] [tex]\frac{2}{7}[/tex] [tex]+\infty[/tex] |
[tex]7x - 2[/tex] | – | – o + |
[tex]11x + 2[/tex] | – o + | + |
[tex](7x - 2)(11x + 2)[/tex] | + o – o + |
[tex]Pour \ tout \ x \ \in \ ] -\infty \ ; -\dfrac{2}{11} \ ] \ \cup \ [ \ \dfrac{2}{7} \ ; +\infty \ [ \ , (7x - 2)(11x + 2) \geq 0[/tex]
3)
[tex]3(1 - x^2) \leq x^2 -4x + 4\\\\\Leftrightarrow 3(1 - x^2) - ( x^2 - 4x + 4) \leq 0\\\\\Leftrightarrow 3 - 3x^2 - x^2 + 4x - 4 \leq 0\\\\\Leftrightarrow -4x^2 + 4x - 1 \leq 0\\\\\Leftrightarrow -(-4x^2 + 4x - 1) \geq 0\\\\\Leftrightarrow 4x^2 -4x + 1 \geq 0\\\\\Leftrightarrow (2x - 1)^2 \geq 0[/tex]
Or l'égalité est vraie pout tout réel [tex]x[/tex] car un carré est toujours positif.
[tex]Donc \ x \in \mathbb R[/tex]