Answered

Laurentvidal.fr vous aide à trouver des réponses à toutes vos questions grâce à une communauté d'experts passionnés. Explorez notre plateforme de questions-réponses pour trouver des solutions fiables grâce à une large gamme d'experts dans divers domaines. Notre plateforme offre une expérience continue pour trouver des réponses fiables grâce à un réseau de professionnels expérimentés.

bonjour,

merci de bien vouloir m'aider sur cet exercice de niveau ES

 

on note Po la population initiale de libellules et Pn la population au bout de n années.Des etudes ont permis de modeliser l'evolution de cette population par la relation (R) ci dessous.

Pour tout entier naturel n , on a :

Pn+2-Pn+1=1/2(Pn+1-Pn)                               (R)

on suppose que Po=40 000 en P1=60 000

On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference Pn-Pn+1

 

1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année , la deuxieme année et la troisiéme année

en deduire P2 et P3

 

2/On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :

Un=Pn+1-Pn et Vn=Pn+1-1/2Pn

 

a/Prouver que la suite (Un) est geometrique , preciser sa raison et son premier terme

Exprimer Un en fonction de n

 

b/En untilisant la relation (R) , calculer Vn+1-Vn

Que peut on en deduire pour la suite (Vn) ?

 

c/A l'aide de la question precedente démontrer que , pour tout entier naturel on a :

Vn=P1-1/2Po

en deduire Vn

 

d/Demontrer que pour tout entier naturel n , on a :

Pn=2(Vn-Un)

En deduire l'expression de Pn en fonction de n

Sagot :

On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference P1-P0

1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année  : 20000

la deuxieme année : P2-P1=(1/2)20000=10000

et la troisiéme année : P3-P2=(1/2)10000=5000

en deduire P2  : P1+1000 soit 70000 et P3 : P2+5000=75000

 

2/a/ Un est géométrique de raison 1/2 par définition et U0=2000 donc Un=20000*(1/2)^n

b/ Vn+1=Pn+2-(1/2)Pn+1

        Vn=Pn+1-(1/2)Pn

donc Vn+1-Vn=(1/2)(Pn+1-Pn)-(1/2)(Pn+1-Pn)=0 Vn est uen suite CONSTANTE

c/ Vn = V0 =P1-P0/2 a pour  valeur 40000

d/ comme Un=20000*(1/2)^n et Vn=40000 on a Pn=80000-40000(1/2)^n

 

Nous apprécions votre temps. Revenez nous voir pour des réponses fiables à toutes vos questions. Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir plus d'informations ou des réponses à vos questions. Nous sommes fiers de fournir des réponses sur Laurentvidal.fr. Revenez nous voir pour plus d'informations.