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bonjour,

merci de bien vouloir m'aider sur cet exercice de niveau ES

 

on note Po la population initiale de libellules et Pn la population au bout de n années.Des etudes ont permis de modeliser l'evolution de cette population par la relation (R) ci dessous.

Pour tout entier naturel n , on a :

Pn+2-Pn+1=1/2(Pn+1-Pn)                               (R)

on suppose que Po=40 000 en P1=60 000

On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference Pn-Pn+1

 

1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année , la deuxieme année et la troisiéme année

en deduire P2 et P3

 

2/On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :

Un=Pn+1-Pn et Vn=Pn+1-1/2Pn

 

a/Prouver que la suite (Un) est geometrique , preciser sa raison et son premier terme

Exprimer Un en fonction de n

 

b/En untilisant la relation (R) , calculer Vn+1-Vn

Que peut on en deduire pour la suite (Vn) ?

 

c/A l'aide de la question precedente démontrer que , pour tout entier naturel on a :

Vn=P1-1/2Po

en deduire Vn

 

d/Demontrer que pour tout entier naturel n , on a :

Pn=2(Vn-Un)

En deduire l'expression de Pn en fonction de n

Sagot :

On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference P1-P0

1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année  : 20000

la deuxieme année : P2-P1=(1/2)20000=10000

et la troisiéme année : P3-P2=(1/2)10000=5000

en deduire P2  : P1+1000 soit 70000 et P3 : P2+5000=75000

 

2/a/ Un est géométrique de raison 1/2 par définition et U0=2000 donc Un=20000*(1/2)^n

b/ Vn+1=Pn+2-(1/2)Pn+1

        Vn=Pn+1-(1/2)Pn

donc Vn+1-Vn=(1/2)(Pn+1-Pn)-(1/2)(Pn+1-Pn)=0 Vn est uen suite CONSTANTE

c/ Vn = V0 =P1-P0/2 a pour  valeur 40000

d/ comme Un=20000*(1/2)^n et Vn=40000 on a Pn=80000-40000(1/2)^n

 

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