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Bonjour à tous, est ce que quelqu'un pourrait m'aider, je suis bloquée à un exercice de mon dm de maths que je dois rendre lundi :

 

Soit (Un)n la suite arithmétique de premier terme U1=3 et de raison -1/2.

1. Exprimer Un en fonction de n.

2. Soit Sn= U1 + U2+...+Un et Tn= Sn/n pour tout n supérieur ou égal à 1.

    a) Exprimer Sn puis Tn en fonction de n.

    b) Montrer que la suite (Tn) est arithmétique.

 

J'ai répondu à la question 1, j'ai trouvé Un + 3+(n-1)1/2, mais je n'arrive pas à répondre aux questions suivantes. Merci d'avance pour votre aide! 

Sagot :

kaser30

1) Il est vu en cours que pour une suite arithmétique: Un = Up + (n-p)r  

ici, la raison est r = -1/2  ;  le premier terme est Up = U1  

On trouve donc  Un = U1-   (n-1)/2 = 3 - (n-1)/2 = 3 + (1-n)/2 = 7/2 - n/2

 

2) a) Sn = U1+U2+...+Un = 7/2 - 1/2 + 7/2 - 2/2 + ... + 7/2 - n/2

On va de U1 à Un, il y a donc n termes donc :

Sn = n(7/2) -1/2 - 2/2 - ... - n/2 =  n(7/2) - 1/2 (1+2+...+n)

                      ici, je met -1/2 en facteur et on retrouve la somme des n 1er entiers

La somme des n 1er entiers vaut n(n+1)/2 donc

Sn = n(7/2) - n(n+1)/4 = n( 7/2 - 1/4 - n/4 ) = n(13-n)/4

 

Tn = Sn/n = (13-n)/4

b) Tn = 13/4 - (1/4)n   et comme n est supérieur ou égal à 1, le 1er terme est celui de rang 1 et on doit mettre Tn sous la forme Tn = T1 + (n-1)r  = T1-r + nr

Donc, par identification : T1-r = 13/4    et   r = -1/4 d'où T1 = 13/4-1/4 =12/4 =3

Alors Tn s'écrit Tn= 3 - (n-1)/4

Donc Tn est une suite arithmétique de raison r= -1/4 et de premier terme T1=3

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