miaoudu59
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on considère le cercle de centre O et de rayon 1, et un de ses diamètre [AB]. On définit une variable aléatoire égale à la longueur d'une corde de ce cercle perpendiculaire à la droite (AB)

 

On considère que la corde aléatoire est déterminée par le choix de son milieu H qui appartient au diamètre [AB]. On appelle X l'abscisse de ce milieu et on fait l'hypothèse que X sui une loi uniforme sur [-1;1].

 

1) justifier que la longueur de la corde est L = 2racine de (1-X^2)

3) Par des considérations d'aire et sans chercher à trouver une primitive, démontrer que l'intégrale de (-1) à 1 de racine(1-x^2)dx = pi/2

En déduire la valeur moyenne de la fonction qui à x associe 2racine(1-x^2) sur l'intervalle [-1;1], puis l'espérance de L.

 

PS : Ceci est un DM pour le lundi 13 mai, de terminale S

Sagot :

en plaçant Ox selon AB, les 2 fonctions y1=racine(1-x^2) et y2=-racine(1-x^2) ont pour graphe les 2 demi cercles supérieur et inférieur. La corde a donc pour longueur y1-y2=2racine(1-x^2) CQFD

 

l'intégrale proposée est l'aire du demi disque supérieur, donc pi/2

 

donc cette fonction a pour valeur moyenne pi/4 et l'espérance de L est donc pi/2

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