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Lorsque de la pénicilline est injectée directement dans le sang, on considère que sa vitesse d'élimination est, a chaque instant proportionnelle a la quantité de pénicilline présente dans le sang a cet instant. Ainsi, la quantité de pénicilline Q(t) (exprimée en mg) présente dans le sang a l'instant t (exprimé en min) vérifie, pour tout réel t positif ou nul, Q'(t)=aQ(t), où a est une constante réelle. A l'instant t=0, on injecte une dose de 5mg de pénicilline.

1) déterminer une expression de Q(t) en fonction de a.
2) Sachant qu'au bout de deux heures, la quantité de pénicilline présente dans le sang a diminué de moitié, déterminer la valeur de a.
3) déterminer a partir de sel instant, exprimé en heures et minutes et arrondi a la minute, la quantité de pénicilline présente dans le d'ange sera inférieure a 1mg.

Dans cette partie, on injecte la pénicilline en perfusion au rythme A mg par minute. La quantité Q(t) exprimée en mg de pénicilline présente dans le sang a l'instant t (exprimé en min) vérifie alors, pour tout réel t>0, Q'(t)=A-kQ(t), où k est une constante réelle strictement positive.

1a) déterminer en fonction de A et k, la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E) : y'+ky=A
B) déterminer, en fonction de A et k, une expression de la solution particulière Q de l'équation (E) qui vérifie Q(0)=0
2a) déterminer la limite en +00 de Q en fonction de A et k.
B) sachant qu'on atteint la moitié de la quantité limite en 3h, déterminer la valeur de k
C) on souhait que la quantité de pénicilline tende vers 80mg. Calculer A.

Sagot :

Q(t)=Cexp(a*t) et comme Q(0)=C, on a Q(t)=0,005*exp(a*t)

 

Q(2)=Q(0)/2 donc exp(2a)=1/2 soit 2a= -ln(2) d'où a=-ln(2)/2

 

Q(t)=Q(0)/5 donne exp(at)=1/5 soit a*t=-ln(5) et donc t=2ln(5)/ln(2)

 

y'+ky a pour solution particulière y=A/k donc pou solution générale A/k+Cexp(-kt)

si Q(0)=0 c'est que A/k+C=0 donc Q(t)=(A/k)(1-exp(-kt))

quand t ->+inf, Q(t) tend donc vers A/k

Q(3)=limite/3 donc 1-exp(-3t)=1/3 donne exp(-3k)=2/3 et -3k=ln(2/3) soit k=(ln(3)-ln(2))/3

 

A/k=80 donc A=80(ln(3)-ln(2))/3

 

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