POUVEZ VOUS M'AIDER SVP Selon cette légende, les échecs auraient été inventés en Inde vers l'an 600 par le sage Sissa pour distraire son roi de l'ennui. Pour remercier Sissa, le roi lui demanda de choisir sa récompense. Le sage répondit qu'il voudrait autant de grains de blé nécessaires pour remplir l'échiquier de la façon suivante: 1 grain sur la première case 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième... en doublant le nombre de grains jusqu'à la dernière case. Le roi trouva cette demande bien modeste. Le but de l'exercice est de montrer que le roi se trompait. 1. un échiquier est composé de huit lignes comportant chacune huit cases. combien de cases comporte un échiquer? 2. Combien de grains de blé doit-on placer sur la cinquième case? Donner le résultat sous la forme d'une puissance de 2. 3. Combien de grains de blé doit-on placer sur la sixième case? Donner le résultat sous la forme d'une puissance de 2. 4. Combien de grains de blé doit-on placer sur la dernière case? Donner le résultat sous la forme d'une puissance de 2. 5. a. En admettant qu'un grain de blé pèse 50mg, donner la masse du blé qu'il faudrait placer sur la dernière case. b. en sachant que la production mondiale du blé en 2009 était de 660 millions de tonnes, combien d'années de production cette masse représente-t-elle? 6. que penser de la première réaction du roi? pouvez vous m'aider a partir de la question 5 B
1) 8 * 8 = 64
Un échiquier est donc compsé de 64 cases.
2) Sur la première, on en place 1
Sur la deuxieme on en place 2
Sur la troisième on en place 4
Sur la quatrième on e place 8
Sur la cinquième on en place 16.
Or, 16=2*2*2*2=2^4
3) Sur la sixième case on placera 2*2^4 grains, soit 2^5
4) La dernière case sera la 64 eme.
Or, on remarque que pour la sième case, il faudra 2^5=2^(6-1) grains
On en déduit que pour la n-ième case, il faudra 2^(n-1) grains.
Pour la 64e case, il en faudra donc 2^(64-1)=2^63
5) a) Un grain pesant 50 mg, la masse du blé à placer sur la denière case sera de :
50 * 2^63 =25*2*2^63=25*2^64 mg.
b) 1g=1000mg=10^3mg ; 1kg=1000g=10^3g ; 1tonne=1000kg=10^3 kg
Donc 1tonne=(10^3)*(10^3)*(10^3)=10^9mg
1 million de tonnes = 10^6*10^9 mg=10^15 mg
660 millions de tonnes = 660 * 10^15 mg
Sachant qu'il faut 25*2^64 mg sur la dernière case, cela correspond à :
[tex]\frac{25*2^{64}}{664*10^{15}}=694.531026872[/tex]
Il faudra donc 695 années de poduction pour remplir la dernière case.
6) La réaction du roi est fausse, il est impossible de remplir l'échiquier, sachant que pour ne remplir que la ernière case, il faut 695 années de prouction de riz