Montrons par récurrence que : pour tout entier n : ∑ k²=(n(n+1)(2n+1))/6
* Intialisation : ∑ 1²=1 et 1*2*(2+1)/6=1 donc la relation est vraie pour n=1
* Hérédité : on suppose qu'il existe n tel que ∑ k²=(n(n+1)(2n+1))/6
donc ∑ k² + (n+1)²=(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)²
=(n+1)(n(2n+1)/6+n+1)
=(n+1)(2n²+n+6n+6)/6
=(n+1)(2n²+7n+6)/6
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
=(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)/6
donc la relation reste vraie au rang n+1
* Conclusion : pour tout entier n : 1²+2²+3²+ ... +n²=(n(n+1)(2n+1))/6
de la même façon : 1+2+3+...+n=(n(n+1))/2
1³+2³+3³+...+n³=(n²(n+1)²)/4