babaestla
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Quel est la valeur de cette integrale ?

[tex]\int_{-\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} {\sqrt{\frac{\pi}{2}-x^2 }}\, dx[/tex]

Sagot :

cette fonction est difficile à intégrer mais tu peux deviner la valeur de cette intégrale par un simple raisonnement géométrique.

Cas général : calcul de I'intégrale de f(x)=√(r²-x²) sur [-r;r]

 

soit un cercle de rayon r et de centre O
son équation est : x²+y²=R²
si on cherche y en fonction de x :
y²=R²-x²
y=racine(r²-x²)
ou y=-racine(r²-x²)

si on considère uniquement la racine positive, tu vois que le graphe de ta fonction et confondu avec le demi-cercle.

l'intégrale par rapport à x de ta fonction est donc la surface située sous la courbe entre -r et r donc la surface d'un quart du cercle.

S=pi.r²
ton intégrale vaut pi.r²/2

 

Cas particuleir : calcul de I'intégrale de g(x)=√(pi/2-x²) sur [-√(pi/2);√(pi/2)]

S=pi*(√(pi/2))²/2

  =pi*(pi/2)/2

  =pi²/4

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