3) a) Calculer la longueur MN du côté du décagone régulier.
Un décagone régulier a 10 côtés de même longueur.
MN = 120 : 10 = 12
La longueur MN est de 12 m.
b) Calculer l'angle , puis l'angle .
est un angle au centre.
Les angles au centre tels que , , , sont égaux ; chacun mesure donc 360° : 10 soit 36 °
Le triangle IMN est isocèle ( [IM] et [IN] sont des rayons) donc ses deux angles à la base sont égaux.
Les angles et mesurent respectivement 36° et 72°.
c) Montrer que la valeur arrondie au cm près de IK est 18,47 mètres.
Pour trouver la longueur IK on va utiliser la trigonométrie dans le triangle IKM rectangle en K.
Le triangle IMN est isocèle donc la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane donc K est le milieu de [MN] et KM = 6 (en m).
[IK] mesure 18,47 m (arrondi au cm).
d) En utilisant la valeur approchée de IK donnée en c), calculer l'aire du triangle MIN :
L'aire du triangle MIN est de la forme où B est la longueur d'un côté et h la hauteur associée à ce côté.
L'aire du triangle MIN est d'environ 110,82 (en m2).
Calculer l'aire du décagone régulier ; donner la valeur à 10 m2 près de ce dernier résultat.
Le décagone comprend 10 triangles tel que MIN. Son aire est donc :
110,82 x 10 = 1 108,2
L'aire du décagone est d'environ 1 110 m2 (à 10 m2 près).
