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Bonjour, j'aurais besoin d'un gros coup de main sur ce devoir
 Ça fait des heures que je rame =(
Merci d'avance l'exercice concerne les fonctions dérivées.


Voici l'exercice : Une usine de produits chimiques dangereux souhaite faire construire une rampe inclinée en pente douce permettant à des chariots de franchir un dénivelé de 1m entre le sol et un quai.
Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du sol du quai. O est le projeté orthogonal de B sur le sol. Pour faciliter votre étude, on exprimera les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormal direct (O , C , B).
Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2m, c'est à dire: OA = 2

 

1) Une rampe rectiligne peut-elle convenir? Pourquoi?
2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi?
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi?


4) Montrer qu'on peut trouver une solution formée de deux arcs de parabole de sommets respectifs A et B se raccordant en étant tangents en un point I d'abscisse 1. Donner les équations des deux paraboles trouvées. Vérifier que la pente maximum de cette rampe est obtenue au point I. Quelle est cette pente?

 

5) On décide de donner à la rampe un profil d'équation : y = ax3 + bx² + cx + d Déterminer les réels a, b, c et d donnant la solution du problème. Quelle est la pente maximum de la rampe? En quel point l'obtient-on?

Sagot :

1) Non car la dérivée ne s'annule jamais : [tex]f(x)=ax+b[/tex] donc [tex]f'(x)=a[/tex]

 

2) Non car la dérivée ne s'annule qu'une seule fois : [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] donc [tex]f'(x)=2ax+b[/tex]

 

3) Non car la dfonction n'est pas dérivable en 2 : f(x)=[tex]a \sqrt {x+b}+c[/tex]

 

4) la fonction f se décompose 2 fonctions g sur [0;1] et h sur [1;2]

[tex]g(x)=\frac {-1} {2} x^2+1[/tex] et [tex]h(x)=\frac {1} {2} (x-2)^2[/tex]

 

5) on a [tex]f(x)=a x^3+bx^2+cx+d[/tex]

[tex]f'(x)=-a x^2+2b x+c[/tex] avec [tex]f'(0)=f'(2)=0;f(0)=1;f(2)=0[/tex]

donc [tex]f(x)=\frac {1} {4} x^3- \frac {3} {4} x^2+1[/tex]

La pente maximale est alors obtenue pour x=1 (logique...)

cette pente vaut [tex]f'(1)=\frac {-3} {4}[/tex]

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