On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).
1) Calculer AE et BD.
On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
2) 1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK.
b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
3) 2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure.
4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.
b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.
5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus.
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
1)
th de Pythagore
AE^2=AB^2+BE^2=1+(√2/2)^2=3/2
AE≥0
AE=√6/2
BD^2=AB^2+AD^2=1+2=3
BD≥0
BD=√3
2a) (AD)//(BE)
AD/BE=AK/KE=DK/BK
AD/BE=2
K point de [AE]
AK=2KE=2(AE-AK)
3AK=2AE
AK=√6/3
DK=2BK
K point de [BD]
DK+KB=DB
3BK=BD
BK=(√3)/3
2b)
BK^2+AK^2=3/9+6/9=1
AB^2=1
réciproque de Pythagore
BK^2+AK^2=AB^2
ABK rectangle en K
la suite viendra en message ...