On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).

 

1)      Calculer AE et BD.

On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.

 

2)      1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK.

                              b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

 

3)      2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.

                        b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure.

       4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.

                                    b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.

      5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus.

                                    b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.