1) tu as plusieurs façons pour démontrer qu'une fonction est concave sur une intervalle I. J'imagine que tu les as dans ton cours; la méthode qui sera la plus simple est de dériver deux fois la fonction:
en effet f(x) est concave sur I si f''(x)≤0, c'est à dire si f'(x) est décroissant.
or f'(x)=[tex]\frac{6}{x}-\frac{e^x}{8}[/tex] addition de deux fonctions décroissantes donc la fonction est décroissante: sinon
f''(x)=[tex]\frac{-6}{x^2}-\frac{e^x}{8}[/tex] or [tex]\frac{-6}{x^2}[/tex] est strictement négatif de même que [tex]-\frac{e^x}{8}[/tex] donc f''(x)≤0. et ce Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;+∞[
donc f(x) est concave sur ]0;+∞[
2)
f'(x)=[tex]\frac{6}{x}-\frac{e^x}{8}[/tex] =[tex]\frac{48-xe^x}{8x}[/tex] or [tex]48-xe^x[/tex] est décroissant sur ]0;+∞[ car [tex]xe^x[/tex] est croissant sur cette intervalle.
les ≥ sont en fait > simplement, je ne connais pas le moyen d'écrire juste > en mode tex
Et [tex]48-2e^2\geq 0[/tex] donc sur ]0;2] a fortiori sur [1;2] on a [tex]48-xe^x\geq 0[/tex] et comme 8x>0 pour tout x dans ]0;+∞[ alors f'(x)≥0 pour tout x de [1;2] donc f est croissante sur cette intervalle.
3) ta fonction est croissante sur [1;2] mais surtout elle est concave sur ]0;+∞[. Or le 3ème graphe montre une fonction convexe et non concave car si tu trace une droite entre deux points de f tu remarques que pour tout x entre les abscisses de ces deux points f est situé en dessous de cette droite.
de même pour le deuxième graphe mais seulement au début (f est convexe sur l'intervalle [1;α] où α ∈ ]1;2]
le graphique correcte est donc le premier.