il est évident que la fonction tend vers -∞ car la fonction exponentiel croit plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale; encore faut il le démontrer.
Tu sais de ton cours car tu l'as normalement démontrer que
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x} = +\infty[/tex]
or [tex]xe^{\frac{1}{x}}=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}[/tex] posons X=1/x
alors on a [tex]xe^{\frac{1}{x}=\frac{e^{X}}{X}[/tex] [tex]\lim_{x \to 0} X = +\infty[/tex]
donc par composition de fonction; [tex]\lim_{x \to 0} \frac{e^{X}}{X} = +\infty[/tex]
c'est à dire [tex]\lim_{x \to 0}xe^{\frac{1}{x}} = +\infty[/tex]
donc [tex]\lim_{x \to 0} x-xe^{\frac{1}{x}} = -\infty[/tex]