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exercice suite géométrique:

Soit la suite Un définie sur N

U0=4
Un+1= Un/4 +9/4

1. calcule les trois premiers termes de Un
2. on donne Vn=Un+a ou a est un nombre réel.
a)déterminer le réel a pour que Vn soit géométrique
b) on suppose que le réel a=-3. Montrée que Vn est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
3. Exprimer Vn en fonction de n
4. on pose
Sn=V0+V1+…..+Vn
S’n=U0+U1+…..+Un
Calculer Sn puis en déduire l’expression de S’n en fonction de n.


Sagot :

Réponse :

Exercice suite géométrique:

Soit la suite Un définie sur N

U0=4

Un+1= Un/4 +9/4

1. calcule les trois premiers termes de Un

u1 = u0/4 + 9/4 = 4/4 + 9/4 = 13/4

u2 = u1/4 + 9/4 = 13/4/4 = 13/16

u3 = u2/4 + 9/4 = 13/16/4 = 13/64

2. on donne Vn=Un+a ou a est un nombre réel.

a)déterminer le réel a pour que Vn soit géométrique

vn+1 = un+1 + a

       = un/4 + 9/4 + a

       = un/4 + 9/4 + 4a/4

       = 1/4(un + 9 + 4a)

Donc il faut que un+ 9+4a = un + a   ⇔  3a = - 9   ⇔ a = - 9/3

donc a = -3  

b) on suppose que le réel a=-3. Montrée que Vn est géométrique dont

on précisera la raison et le premier terme

vn+1 = un+1 - 3

       = un/4 + 9/4 - 3

       = un/4 + 9/4 - 12/4

       = 1/4(un - 3)

       = 1/4)vn   cqfd

(vn) suite géométrique de raison q = 1/4  

et de premier terme v0 = u0 - 3 = 4 - 3 = 1

3. Exprimer Vn en fonction de n

      vn = v0 x qⁿ    avec n ∈ N    Donc   vn = 1 x (1/4)ⁿ

4. on pose

Sn=V0+V1+…..+Vn

S’n=U0+U1+…..+Un

Calculer Sn puis en déduire l’expression de S’n en fonction de n.

Sn = v0 + v1 + .......+ vn

    = (1/4)⁰ + (1/4)¹ + ....... + (1/4)ⁿ

    = (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/4)

donc  Sn = 4(1 - (1/4)ⁿ⁺¹)/3

vn = un - 3

un = vn + 3

S'n = u0 + u1 + .......+ un

     = (v0+3) + (v1+3) + .......+ (vn+ 3)

     = 3(n+1) + (v0 + v1 + .....+ vn)

     = 3(n+1) + Sn

     = 3(n+1) + 4/3(1 - (1/4)ⁿ⁺¹)

     = 3n + 3 + 4/3 - 4/3( (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)

     = 3n + 13/3 - 4/3( (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)

Explications étape par étape :

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