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Sagot :
Réponse :
ABC est un triangle isocèle en A tel que AB=3cm et cosBÂC=36°. D un point distninct de A, de la droite (AB) tel que CA=CD. 1)Faire la figure et démontrer que les triangles ACD et BCD sont semblables.
Explications étape par étape :
1-Triangle isocèle ABC :
• AB=AC=3 cm
• cos(BA^C)= 36∘
2-Point D :
• CA=CD
Preuve de la similarité
1. Angles au point D :
o Puisque CA=CD, le triangle ACD est isocèle en C donc ∠CAD=∠CDA.
2. Angles au point A :
o Le triangle ABC est isocèle en A, donc ∠BAC=∠BCA.
3. Utilisation de l'angle BÂC pour trouver les autres angles :
• Dans le triangle isocèle ABC, nous savons que ∠BAC=36°.
• Par conséquent, ∠BCA=∠BAC=36° (car ABC est isocèle).
4. Calcul de ∠ACB :
• La somme des angles dans un triangle est 180°
• Dans le triangle ABC, les deux angles égaux ∠BAC et ∠BCA sont 36° chacun. ; Donc, ∠ABC=180°−2×36°=108°
5. Calcul des angles du triangle ACD :
• ∠ACD=180°−(∠CAD+∠CDA)=180∘−2×∠CAD Puisque ∠CAD=∠CDA, ∠ACD=180°−2×∠CAD.
6. Calcul des angles du triangle BCD :
• ∠BCD = ∠ACB car CD=CA.
• Par la symétrie de CD et CA, ∠BCD=∠ACD.
Similarité des triangles ACD et BCD
Les triangles ACD et BCD sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux. De notre construction et de nos calculs :
• ∠CAD=∠BDA (car ACD est isocèle).
• ∠ACD=∠BCD (car CA=CD et par symétrie).
Donc, par critère d'égalité des angles, les triangles ACD et BCD sont semblables.
Conclusion
En conclusion, nous avons démontré que les triangles ACD et BCD sont semblables car leurs angles correspondants sont égaux.
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