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Dans un repère orthonormé (o,i,j), un mobile est animé d'un mouvement dont les équations horaires sont x+4= 4sin (3πt); y+b= 4cos(3πt). t ( en seconde), x et y (en mettre).

A et B sont des réels

Montrer que la trajectoire est circulaire


Sagot :



Commençons par simplifier les équations horaires données. Nous avons :

x + 4 = 4sin(3πt)
y + b = 4cos(3πt)

Pour simplifier les choses, nous pouvons d'abord isoler x et y :

x = 4sin(3πt) - 4
y = 4cos(3πt) - b

Maintenant, nous pouvons exprimer x et y en termes de paramètres trigonométriques. Utilisons les identités trigonométriques suivantes :

sin²θ + cos²θ = 1
cos²θ = 1 - sin²θ

Appliquons ces identités à nos équations :

x = 4sin(3πt) - 4
= 4√(1 - cos²(3πt)) - 4
= 4√(1 - (y + b)²/16) - 4

Maintenant, nous pouvons exprimer x en termes de y :

x = 4√(1 - (y + b)²/16) - 4

Maintenant, examinons cette équation. Si la trajectoire est circulaire, cela signifie que pour chaque valeur de y, il existe une relation constante entre x et y qui satisfait cette équation.

Nous pouvons voir que l'équation est de la forme :

x = A√(1 - (y + B)²/16) - A

où A et B sont des constantes. Cette forme est celle de l'équation d'un cercle.

Donc, en conclusion, si nous pouvons trouver des valeurs constantes A et B qui satisfont cette équation, alors nous pouvons affirmer que la trajectoire est circulaire.
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