Bonjour ,
Pense à dire d'abord "Bonjour" et qq. chose comme "Merci de votre aide". OK ?
1)
U(0)=10000
2)
D'une année sur l'autre le nb d'habitants diminue de 10% donc est multiplié par (1-10/100) soit par 0.9. Mais il faut ajouter 500 habitants qui arrivent.
Donc :
U(n+1)=U(n) x 0.9+500
qui prouve que la suite (U(n)) n'est ni arithmétique , ni géométrique car :
- si arithmétique : U(n+1)=U(n) + r
- si géométrique : U(n+1)=U(n) x q
3)
a)
V(n+1)=U(n+1)-5000
Mais : U(n+1)=U(n) x 0.9+500
Donc :
V(n+1)=U(n) x 0.9+500 - 5000 , soit :
V(n+1)=U(n) x 0.9-4500
On met 0.9 en facteur :
V(n+1)=0.9 x [U(n)-5000] ==> car 0.9 x 5000=4500
Mais : U(n)-5000=V(n)
Donc :
V(n+1)=0.9 x V(n)
qui prouve que la suite (V(n)) est géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme V(0)=U(0)-5000=10000-5000=5000.
b)
Le cours dit :
V(n)=V(0) x q^n , soit ici :
V(n)=5000 x 0.9^n
c)
On sait que : U(n)=V(n)+5000.
Donc :
U(n)=5000 x 0.9^n + 5000
2040-2018=22
U(22)=5000 x 0.9^22 + 5000 ≈ 5492 habitants en 2040.
