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soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premièr terme U0 telle que U2+U3 +U4=15 et U12= -10 a) Calculer r et Uo , b) determiner le terme générale un de cette suite arithmétique c) determiner , en fonction de n la Somme sn= u0+ u1+ ...+un​

Sagot :

fffarid

Réponse :

Explications étape par étape :

Définition :

(un) suit arith ⇔ il existe r ∈ R / ∀ n , Un+1 = Un + r

                           r est la raison de la suite

On a :

U2+U3+U4 = 15

U2 = U1 + r = (U0 + r )+r = U0 + 2r

U3 = U2 + r = U0 + 2r + r = U0 + 3r

U4 = U3 + r = U0 + 3r +r = U0 + 4r

Donc :

U2+U3+U4 = U0 + 2r + U0 + 3r + U0 + 4r = 3U0 + 9r

Finalement :

                      3U0 + 9r = 15

U12 = -10

On a :

U0 = ...

U1 = U0+r

U2= U1 + r = U0 + 2r

U3 = U2+r = U0 + 3r

...

Posons : Un = U0 + nr

Démontrons que U(n+1) = U0 + (n+1)r

On a :

U(n+1) = Un+ r

          = U0 + nr + r

          = U0 + (n+1)r

Donc :

U12 =

               U0 + 12r = -10

On obtient le système à 2 inconnues :

3U0 + 9r = 15 et

U0 + 12r = -10

Résolution :

  multiplions par 3 la 2e éq.

3U0 + 9r = 15 et

3U0 + 36r = -30

 retranchons la 2e de la 1ère

9r-36r = 15+30

 -27 r = 45

 - 9r = 15

 -3r = 5

   r = - 5/3

On remplace dans la 1ère :

3 U0 - 9*5/3 = 15

3 U0 - 15 = 15

3U0 = 30

  U0 = 10

Vérification :

3U0 + 9r = 15 et

U0 + 12r = -10

⇔

3U0 + 9r = 15

30 -15 = 15

15 = 15 ok

ET

U0 + 12r = -10

10 -20 = -10

-10 = -10 ok

b) terme général :

   Un = U0 + nr

   Un = 10 -5/3 * n

c) Somme Sn = U0+U1 + .... + Un

                  = U0 + (U0+r) + .... + (U0 + nr)

           on remarque qu'on a U0 'n+1' fois

           et en regroupant les r, on a :

                Sn = (n+1) U0  + (r + 2r + .... +nr)

              Sn = (n+1) U0  + (1 + 2 + ....+ n) r

Déterminons la somme des n premiers entiers

A = 1  + 2     + ....+ (n-1) + n

B = n + (n-1) + ....+    2   + 1

B est la même série que A, mais à l'envers.

On remarque qu'eb additionnant 2 à 2 les termes, on a toujours la même valeur, soit n+1

Finalement :

A+B = 2A

       = n*(n+1)

Donc A = n*(n+1)/2

La somme des n premiers entiers est n(n+1)/2

Donc :

Sn = (n+1) U0  + n(n+1)/2 *  r

    = 10 (n+1) -5/3 * n(n+1)/2

     = 10 (n+1) - 5/6 * n(n+1)

      = 10n +10 -5/6 ( n² + n)

      = 10n +10 -5/6 n² -5/6 n

      = -5/6 n² + (10-5/6) n +10

Finalement :

Sn = -5/6 n² + (55/6) n +10

En espérant qu'il ny ait pas de faute de calcul

Je vérifie dan excel ... c'est ok

ngege83

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

(Un) suite arithmétique de raison r et de 1er terme U0
a) U2 = U0 + 2r
   U3 = U0 + 3r
   U4 = Uo + 4r
On additionne
U2 + U3 + U4 = 3U0 + 9r
Soit 3U0 + 9r = 15  (1)
U12 = U0 + 12r
Soit U0 +12r = -10 et donc U0 = -10 - 12r
On reporte dans (1)
3(-10 - 12r) + 9r = 15
-30 -36r + 9r = 15
      -27r = 45
        r = -45/27
        r = -5/3
ce qui donne Uo = -10 +12X5/3 = 10
Conclusion U0 = 10 et r = -5/3

b) Un = U0 + nr
    Un = 10 -5/3 n

c) Sn = (U0 + Un)/2 X(n+1)
   Sn = (20 -5/3n)(n+1)
  Sn = (20n + 20 - 5/3n² - 5/3n)/2
  Sn = -5/6n² +55/6n + 10

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