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Dans un lycée , il ya entre 500 et 1000 élèves. Le proviseur a remarqué qu'en les répartissant en groupe de 18, 20, 24 élèves il reste toujours 9 élèves. Quel est le nombre d'élèves? a) 609 b) 709 c)729 d) 809

Sagot :

Bonjour,

Réponse :

Introduction :

Nous devons trouver un nombre [tex]n[/tex] d'élèves tel que :

  • [tex]n \equiv 9 \pmod{18}[/tex]
  • [tex]n \equiv 9 \pmod{20}[/tex]
  • [tex]n \equiv 9 \pmod{24}[/tex]

Ces conditions indiquent que lorsqu'on répartit les élèves en groupes de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] ou [tex]24[/tex], il reste toujours [tex]9[/tex] élèves. Cela signifie que [tex]n - 9[/tex] est un multiple commun de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex].

Calcul de k :

Nous devons donc trouver le plus petit nombre [tex]k[/tex] tel que [tex]k[/tex] soit un multiple de ces trois nombres. Pour ce faire nous allons déterminer le PPMC de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex] .

Décomposons ces nombres en facteurs premiers :

▪ [tex]18 = 2 \times 3^2[/tex]

▪ [tex]20 = 2^2 \times 5[/tex]

▪ [tex]24 = 2^3 \times 3[/tex]

Le PPCM de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex] est obtenu en prenant le maximum des puissances de chaque facteur premier :

▪ Pour [tex]2[/tex], le maximum est [tex]2^3[/tex]

▪ Pour [tex]3[/tex], le maximum est [tex]3^2[/tex]

▪ Pour [tex]5[/tex], le maximum est [tex]5[/tex]

→ Le PPCM est :

[tex]\text{PPCM}(18, 20, 24) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = \boxed{360}[/tex]

Calcul de m :

Maintenant, nous devons trouver [tex]n[/tex] tel que :

[tex]n = 360m + 9[/tex]                  où [tex]m[/tex] est un entier, et [tex]500 \leq n \leq 1000[/tex]

Calculons les valeurs possibles de [tex]m[/tex] :

[tex]500 \leq 360m + 9 \leq 1000\\\\\\491 \leq 360m \leq 991\\\\\\\dfrac{491}{360} \leq m \leq \dfrac{991}{360}\\\\\\1,36 \leq m \leq 2,75[/tex]

Comme [tex]m[/tex] doit être un entier, la valeur possible de [tex]m[/tex] est [tex]2[/tex].

Calcul de n :

Calculons [tex]n[/tex] pour [tex]m = 2[/tex] :

[tex]n = 360 \times 2 + 9 = 720 + 9 = \boxed{729}[/tex]

Conclusion :

Le nombre d'élèves dans le lycée est 729.

Bonne journée !

Bonjour,

a) 609

609-9 = 600

600/18 =33,.....

b) 709

709-9 = 700

700/18 = 38,888...

c)729

729-9 = 720

720/18=40

720/20 = 36

720/24 = 30

d) 809

809-9 = 800

800/18 = 44,...

Donc, 729 élèves