Bonsoir, voici ma réponse :
On est dans un repère orthonormé (0;→i,→j)
2) a) E(2;1) est le milieu de [AB], si →AE = 1/2*→AB.
→AB(-2;4) et →AE(-1;2)
xAB/2=-2/2
=-1
yAB/2=4/2
=2
Donc →AE = 1/2*→AB.
Donc E(2;1) est le milieu de [AB]
b) y=1/2*x
Donc yE=1/2*xE
yE=1/2*2
yE=2
On retrouve bien les coordonnées de E(2;1) en appliquant les coordonnées de E à l'équation réduite de la droite (D). Donc E appartient à la droite (D).
3) l'équation réduite d'une droite est de la forme y=ax+b
a est le coefficient directeur de la droite.
Soit yAB/xAB=4/(-2)
=-2
Les coordonnées de B(1;3) vérifient l'équation de (AB) :
Donc 3=-2*1+b
b=3+2
b=5
Donc, l'équation réduite de la droite (AB) est y=-2x+5
b) Prenons 2 points à partir de l'équation de la droite (D).
Pour x=1, y=1/2*1
y=1/2
Donc C(1;1/2).
Pour x=2, y=1/2*2
y=1
or pour x=2, y=-2*2+5 (équation de (AB))
y=1
Donc F(2;1) est le point d'intersection de la droite (AB) et (D)
→CF(xF-xC;yF-yC)
=→CF(1;1/2)
Donc →CF est un vecteur directeur de (D)
→FB(-1;2) est un vecteur directeur de (AB).
Donc, (D) et (AB) sont perpendiculaire si les vecteurs →CF et →FB sont orthogonaux.
Donc on calcule le produit scalaire→CF.→FB :
→CF.→FB=CF*FB *cos(^CFB)
cos(^CFB)=(→CF.→FB)/(CF*FB) = (1*(-1)+2*2)/(1*(-1)+2*2)=3/3=1
Donc ^CFB=cos^-1(1)
=90°
Et cos^-1(1) = 0 (rad)
Donc →CF et →FB sont orthogonaux.
Donc (D) et (AB) sont perpendiculaires.
4) On trace les droite (D) et (AB) sur la calculatrice à partir de leurs équations réduite :
(D) : y=1/2*x
(AB) : y=-2x+5
