Bonsoir,
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Je te propose une autre approche qui me paraît plutôt compréhensible avec des notions de lycée.
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Je me permets de ne pas utiliser de quantificateurs, ce qui n'impactera pas la compréhension de la résolution.
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Nous avons:
[tex] \sf \left( \dfrac{1}{tan(x)} \right)' = \left( \dfrac{1}{\dfrac{sin(x)}{cos(x)}} \right)' = \left( \dfrac{cos(x)}{sin(x)} \right)' [/tex]
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Puis on dérive en se rappelant que:
[tex] \sf \left( \dfrac{u(x)}{v(x)} \right)' = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} [/tex]
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On applique cela avec:
[tex] \sf u(x) = cos(x) \ \ \ ; \ \ \ u'(x) = -sin(x) \\ \\ \sf v(x) = sin(x) \ \ \ ; \ \ \ v'(x) = cos(x) [/tex]
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Ainsi, nous trouvons:
[tex] \sf \left( \dfrac{1}{tan(x)} \right)' = \left( \dfrac{cos(x)}{sin(x)} \right)' = \dfrac{-sin(x) \cdot sin(x) - cos(x) \cdot cos(x)}{sin^2(x) } \\ \\ \\ \\ \sf = \dfrac{-sin^2(x) - cos^2(x)}{sin^2(x) } [/tex]
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Et puisque nous connaissons toutes nos formules de trigonométrie par coeur, on simplifie en disant que:
[tex] \sf sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \ \ d'o\grave{u} \ \ -sin ^2(x) - cos^2(x) = -1 [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Notre résultat est donc:
[tex] \sf \left( \dfrac{1}{tan(x)} \right)' \sf = \dfrac{\overbrace{\sf -sin^2(x) - cos^2(x)}^{\sf = -1}}{sin^2(x) } \\ \\ \\ \rightarrow \boxed{\boxed{\sf \left( \dfrac{1}{tan(x)} \right)' = -\dfrac{1}{sin^2(x) }}} [/tex]
