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MATHS & SES
88 Une entreprise fabrique des objets. Elle estime que le
coût total en euros de la production de robjets est donné par
C7(x)=x³-60x²+1500x+5000 pour x = [0; 70]. On
appelle coût marginal C, le coût supplémentaire induit par
la dernière unité produite, c'est-à-dire, C(x)=C, (x+1)-
C(x). Une approximation du coût marginal est faite avec
le nombre dérivée du coût total en .x.
Partie A - Étude du coût total
c'est-
1. Déterminer le montant en euros des coûts fixes, c'est-
à-dire C(0).
2. Déterminer l'expression du coût marginal C,(x).
3. On donne ci-dessous la courbe
de la fonction C
Déterminer graphiquement la convexité de f.
Partie B- étude du coût marginal
1. Calculer la dérivée de C
2. Déterminer les variations de C sur [0;70].
M
3. Justifier l'existence d'un point d'inflexion de C. Préciser
l'abscisse de ce point.
4. a. A partir de quelle quantité produite, chaque objet
supplémentaire produit, est-il plus coûteux que l'objet
précédent?
b. On appelle rendement marginal, le rendement prévu
pour la production d'un objet supplémentaire. Justifier
l'affirmation suivante :
«Pour une production de plus de 20 objets, les rendements
marginaux de cette entreprise sont décroissants.»


MATHS Amp SES88 Une Entreprise Fabrique Des Objets Elle Estime Que Lecoût Total En Euros De La Production De Robjets Est Donné ParC7xx60x1500x5000 Pour X 0 70 O class=

Sagot :

Iduns

Salut !

Partie A :

1. [tex]C_{T} (0)=0^{2} -60*0^{2} +1500*0+5000=5000[/tex]

Les coûts fixes sont de 5000€.

2.

[tex]C_{m} (x)=C_{T}(x+1)-C_{T}(x)\\C_{m} (x)=(x+1)^{3} -60(x+1)^{2} +1500(x+1)+5000-(x^{3} -60x^{2} +1500x+5000)\\C_{m} (x)=x^{3} +3x^{2} +3x+1-60x^2-120x-60+1500x+1500+5000-x^3+60x^2-1500x-5000\\C_{m} (x)=3x^2-117x+1441[/tex]

3. Il semblerait qu'elle soit concave sur l'intervalle [0;20] et convexe sur [20;70].

Partie B :

1.

[tex]C_{m} (x)=3x^2-117x+1441\\C_{m}'(x)=2(3x)-117\\C_{m}'(x)=6x-117[/tex]

2. Etude du signe de [tex]C_{m}'(x)[/tex] :

[tex]C_{m}'(x)\geq 0\\6x-117\geq 0\\6x\geq 117\\x\geq 19.5[/tex]

Donc la dérivée est négative sur [0 ; 19.5] et positive sur [19.5 ; 70]. Comme la dérivée determine les variations de la fonction, alors :

- la fonction f est décroissante sur [0 ; 19.5]

- la fonction f est croissante sur [19.5 ; 70]

3. Calculons la dérivée de [tex]C_{T}(x)[/tex] :

[tex]C_{T}'(x)=3x^2-120x+1500[/tex]

Calculons la dérivée seconde de [tex]C_{T}(x)[/tex] :

[tex]C_{T}''(x)=6x-120[/tex]

Etudions le signe de cette dérivée seconde :

[tex]C_{T}''(x)\geq 0\\6x-120\geq 0\\6x\geq 120\\x\geq 20[/tex]

La dérivée s'annule pour x = 20.

4.a D'après la question 2 de la partie B, chaque objet supplémentaire produit est plus coûteux que l'objet précédent à partir de 20 objets (car x est un entier, on ne peut pas produire la moitié d'un objet).

b. Selon moi, c'est ce que l'on a démontré la question précédente.