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Sagot :
Salut !
Partie A :
1. [tex]C_{T} (0)=0^{2} -60*0^{2} +1500*0+5000=5000[/tex]
Les coûts fixes sont de 5000€.
2.
[tex]C_{m} (x)=C_{T}(x+1)-C_{T}(x)\\C_{m} (x)=(x+1)^{3} -60(x+1)^{2} +1500(x+1)+5000-(x^{3} -60x^{2} +1500x+5000)\\C_{m} (x)=x^{3} +3x^{2} +3x+1-60x^2-120x-60+1500x+1500+5000-x^3+60x^2-1500x-5000\\C_{m} (x)=3x^2-117x+1441[/tex]
3. Il semblerait qu'elle soit concave sur l'intervalle [0;20] et convexe sur [20;70].
Partie B :
1.
[tex]C_{m} (x)=3x^2-117x+1441\\C_{m}'(x)=2(3x)-117\\C_{m}'(x)=6x-117[/tex]
2. Etude du signe de [tex]C_{m}'(x)[/tex] :
[tex]C_{m}'(x)\geq 0\\6x-117\geq 0\\6x\geq 117\\x\geq 19.5[/tex]
Donc la dérivée est négative sur [0 ; 19.5] et positive sur [19.5 ; 70]. Comme la dérivée determine les variations de la fonction, alors :
- la fonction f est décroissante sur [0 ; 19.5]
- la fonction f est croissante sur [19.5 ; 70]
3. Calculons la dérivée de [tex]C_{T}(x)[/tex] :
[tex]C_{T}'(x)=3x^2-120x+1500[/tex]
Calculons la dérivée seconde de [tex]C_{T}(x)[/tex] :
[tex]C_{T}''(x)=6x-120[/tex]
Etudions le signe de cette dérivée seconde :
[tex]C_{T}''(x)\geq 0\\6x-120\geq 0\\6x\geq 120\\x\geq 20[/tex]
La dérivée s'annule pour x = 20.
4.a D'après la question 2 de la partie B, chaque objet supplémentaire produit est plus coûteux que l'objet précédent à partir de 20 objets (car x est un entier, on ne peut pas produire la moitié d'un objet).
b. Selon moi, c'est ce que l'on a démontré la question précédente.
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