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Exercice 4 (5 points) Après la catastrophe nucléaire de Fukushima au Japon en 2011, tu vois dans un documentaire télévisé un scientifique portant un sac de terre irradić prêt à être stocké dans un magasin très profondément enfoui sous la Terre pour éviter des contaminations. Ce scientifique affirme que le sac contient No = 109 noyaux radioactifs de césium 133Cs. Ce noyau de césium 137, de période radioactive T, peut se désintégrer en noyau de baryum 137Ba au cours d'une réaction nucléaire. Tu désires déterminer en 2023, 12 ans après cet évènement, le nombre de noyaux de césíum 137 encore présents dans l'échantillon de terre contenu dans le sac. Donnée T = 30 ans.
1. Définis la période radioactive.
2. Donne:
2.1. la composition d'un noyau de césium 137;
2.2. les lois de conservation au cours d'une réaction nucléaire ;
2.3. le type de radioactivité ou de désintégration du noyau de césium 137. 3. Écris l'équation-bilan de la désintégration du césium 137.
4. Détermine:
4.1. la constante radioactive λ;
4.2. le nombre N de noyaux radioactifs présents dans le sac.​

Sagot :

Réponse:

1. **Définition de la période radioactive :**

La période radioactive (ou demi-vie) d'un élément radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se désintègrent. Autrement dit, après une période radioactive, il reste 50% des noyaux initiaux.

2. **Composition et lois de conservation :**

2.1. **Composition d'un noyau de césium 137 :**

Un noyau de césium 137 (\(^{137}_{55}\text{Cs}\)) contient 55 protons et 82 neutrons (137 - 55 = 82).

2.2. **Lois de conservation au cours d'une réaction nucléaire :**

Lors d'une réaction nucléaire, deux lois de conservation doivent être respectées :

- La loi de conservation du nombre de nucléons (le nombre total de protons et de neutrons est conservé).

- La loi de conservation de la charge électrique (le nombre total de protons est conservé).

2.3. **Type de radioactivité ou de désintégration du noyau de césium 137 :**

Le césium 137 (\(^{137}_{55}\text{Cs}\)) se désintègre principalement par émission bêta (\(\beta^-\)), ce qui signifie qu'un neutron se transforme en proton, en émettant un électron (\(e^-\)) et un antineutrino (\(\bar{\nu}_e\)).

3. **Équation-bilan de la désintégration du césium 137 :**

La désintégration du césium 137 en baryum 137 (\(^{137}_{56}\text{Ba}\)) peut être écrite comme suit :

\[

^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + e^- + \bar{\nu}_e

\]

4. **Détermination de la constante radioactive et du nombre de noyaux restants :**

4.1. **Constante radioactive \(\lambda\) :**

La constante de désintégration radioactive \(\lambda\) est liée à la période radioactive \(T\) par la relation suivante :

\[

\lambda = \frac{\ln(2)}{T}

\]

En utilisant \(T = 30\) ans :

\[

\lambda = \frac{\ln(2)}{30 \text{ ans}} \approx \frac{0.693}{30} \approx 0.0231 \text{ ans}^{-1}

\]

4.2. **Nombre \(N\) de noyaux radioactifs présents dans le sac :**

Le nombre de noyaux restants après un temps \(t\) est donné par la formule :

\[

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

\]

Où :

- \(N_0\) est le nombre initial de noyaux,

- \(\lambda\) est la constante de désintégration,

- \(t\) est le temps écoulé.

En 2023, 12 ans après 2011, \(t = 12\) ans, \(N_0 = 10^9\) et \(\lambda \approx 0.0231 \text{ ans}^{-1}\) :

\[

N(12) = 10^9 \cdot e^{-0.0231 \cdot 12}

\]

Calculons l'exponentielle :

\[

e^{-0.0231 \cdot 12} \approx e^{-0.2772} \approx 0.758

\]

Donc,

\[

N(12) \approx 10^9 \cdot 0.758 \approx 7.58 \times 10^8

\]

Ainsi, le nombre de noyaux de césium 137 encore présents dans l'échantillon en 2023 est d'environ \(7.58 \times 10^8\).

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