Réponse:
Pour répondre à cette question, nous allons procéder étape par étape.
### a) Estimation des frais fixes, des frais variables, et détermination des fonctions de coût et de profit
Nous savons que :
- Lorsqu'il vend 20 unités, il subit une perte de 2400 $. Cela signifie que son profit est -2400 $.
- Lorsqu'il vend 180 unités, il fait un profit de 1200 $.
On peut modéliser le profit \( P(x) \) en fonction du nombre d'unités vendues \( x \) par une fonction affine de la forme :
\[ P(x) = ax + b \]
Nous avons deux points sur cette droite : (20, -2400) et (180, 1200).
#### Détermination de la pente \( a \)
La pente \( a \) de cette droite est donnée par :
\[ a = \frac{P(180) - P(20)}{180 - 20} \]
\[ a = \frac{1200 - (-2400)}{180 - 20} \]
\[ a = \frac{1200 + 2400}{160} \]
\[ a = \frac{3600}{160} \]
\[ a = 22.5 \]
#### Détermination de l'ordonnée à l'origine \( b \)
Pour déterminer \( b \), nous pouvons utiliser l'un des points. Utilisons le point (20, -2400) :
\[ -2400 = 22.5 \cdot 20 + b \]
\[ -2400 = 450 + b \]
\[ b = -2400 - 450 \]
\[ b = -2850 \]
La fonction de profit est donc :
\[ P(x) = 22.5x - 2850 \]
#### Détermination des frais variables et des frais fixes
Le prix de vente de chaque produit est de 60 $. Si nous appelons \( c \) le coût variable par unité (c'est-à-dire le coût de production d'une unité), le profit pour la vente de \( x \) unités peut aussi être exprimé par :
\[ P(x) = 60x - (f + cx) \]
où \( f \) représente les frais fixes.
En réarrangeant, nous obtenons :
\[ P(x) = 60x - f - cx \]
\[ P(x) = (60 - c)x - f \]
En comparant cette équation avec \( P(x) = 22.5x - 2850 \), nous voyons que :
\[ 60 - c = 22.5 \]
\[ c = 60 - 22.5 \]
\[ c = 37.5 \]
Ainsi, le coût variable par unité est de 37.5 $.
Pour les frais fixes \( f \), nous savons que l'ordonnée à l'origine est -2850 :
\[ -f = -2850 \]
\[ f = 2850 \]
Les fonctions de coût et de profit sont donc :
- **Fonction de coût** : \( C(x) = f + cx = 2850 + 37.5x \)
- **Fonction de profit** : \( P(x) = 22.5x - 2850 \)
### b) Estimation du seuil de rentabilité
Le seuil de rentabilité est le point où le profit est nul, c'est-à-dire lorsque \( P(x) = 0 \).
En utilisant la fonction de profit \( P(x) = 22.5x - 2850 \) :
\[ 0 = 22.5x - 2850 \]
\[ 22.5x = 2850 \]
\[ x = \frac{2850}{22.5} \]
\[ x = 126.67 \]
Le seuil de rentabilité est donc de 127 unités (puisqu'on ne peut pas vendre une fraction d'unité).
En résumé :
- **Frais fixes** : 2850 $
- **Frais variables par unité** : 37.5 $
- **Fonction de coût** : \( C(x) = 2850 + 37.5x \)
- **Fonction de profit** : \( P(x) = 22.5x - 2850 \)
- **Seuil de rentabilité** : 127 unités
