Réponse :
1.a)
[tex]f(x)-g(x)\\\\=\frac{2}{x} -(-0.5x+2.5)\\\\=\frac{2}{x}+0.5x-2.5\\\\=\frac{2+0.5x^{2}-2.5x}{x}\\\\=\frac{x^{2}-5x+4}{2x}\\\\=\frac{x^{2}-x-4x+4}{2x}\\\\=\frac{x(x-1)-4(x-1)}{2x}\\\\=\frac{(x-1)(x-4)}{2x}[/tex]
1.b) Voir pièce jointe.
On remarque que f(x)-g(x) est négatif sur l'intervalle [1;4].
2.
Je n'ai pas vraiment compris l'intérêt des deux premières questions, leur lien avec celle-ci donc peut-être fallait-il en déduire quelque chose, ou peut-être pas, mais je vais faire sans.
L'aire colorée correspond à l'aire en-dessous la courbe g(x) et au-dessus de la courbe f(x).
Par ailleurs, elle est délimitée par leurs point d'intersection qui, comme on a pu le voir dans le 1.b) sont 1 et 4.
On doit donc calculer :
[tex]\int\limits^4_1 {g(x)-f(x)} \, dx \\\\=\int\limits^4_1 {-0.5x+2.5-\frac{2}{x}} \, dx \\\\=-0.5\int\limits^4_1 {x} \, dx +\int\limits^4_1 {2.5} \, dx -2\int\limits^4_1 {\frac{1}{x}} \, dx\\\\=-0.5[\frac{x^{2}}{2}]^{4}_{1}+[2.5x]^4_1 -2[\ln(x)]^4_1\\\\=-0.5(8-0.5)+(10-2.5)-2(\ln(4)-\ln(1))\\\\=3.75-2\ln(4)\\\\=3.75-4\ln(2)[/tex]
On a donc que l'aire colorée est de 3.75-4ln(2) u.a.
Si tu as des questions ou des points que tu ne comprends pas, n'hésite pas.
