lhsilaa
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Bonjour (l'exercice est complet)
Résoudre U0 = 0 et Un+1 = 2un + 3n + 1 On pourra chercher une solution particulière sous la forme Un* = an + b Merci

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}u_0&=&0\\u_{n+1}&=&2u_n+3*n+1\\\end {array} \right.\\\\u_{n+2}&=&2u_{n+1}+3*n+4\ (1)\\u_{n+1}&=&2u_n+3*n+1\ (2) \\\\(1)-(2)\ \Longrightarrow\ u_{n+2}-u_{n+1}+2u_n=3\ (3)\\\\u_{n+3}-u_{n+2}+2u_{n+1}=3\ (4)\\\\(4)-(3)\ \Longrightarrow\ u_{n+3}-4u_{n+2}+5u_{n+1}-2u_n=0\\Equation\ caract\' eristique:\ r^3-4r^2+5r-2=(r-1)^2*(r-2)=0\\\\u_n=k_1+k_2*n*1^n+k_3*2^n\\\\[/tex]

[tex]n=0 \Longrightarrow\ k_1+k_3=0\\n=1 \Longrightarrow\ k_1+k_2+2k_3=1\\n=2 \Longrightarrow\ k_1+2k_2+4k_3=6\\\\k_1=-4,\ k_2=-3,\ k_3=4\\\\\boxed{u_n=-4-3*n+4*2^n}\\[/tex]

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