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Bonjour exercice sur les suites

Soit u la suite définie par U0 = 0,5 et Un+1 = Un^2

1) Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤Un ≤ 1

2) étudier la monotonie de u

3) en déduire que y est convergente et en trouver la limite

Merci


Sagot :

Réponse :

Bonjour exercice sur les suites

Soit u la suite définie par U0 = 0,5 et Un+1 = Un^2

1) Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤Un ≤ 1

on note P(n) :  0 ≤ un ≤ 1

- initialisation : pour  n = 0   on a    0 ≤ u0 = 0.5 ≤ 1   donc P(0) est vraie

- hérédité : soit un entier  n ≥ 0 et supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie

H.R :    0 ≤ un ≤ 1   ⇔  0 ≤ un² ≤ 1² = 1   ⇔  0 ≤ un+1 ≤ 1   donc P(n+1) est vraie

- conclusion :  P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n donc par récurrence   P(n) est vraie pour tout entier naturel n

c'est à dire   ∀n ∈ N   on a ;   0 ≤ un ≤ 1

2) étudier la monotonie de u

un+1 - un = un² - un

               un(un - 1)     or  un ≥ 0  et  un ≤ 1   ⇔ un - 1 ≤ 0

donc   un+1 - un ≤ 0   par suite (un) est décroissante

3) en déduire que y est convergente et en trouver la limite

puisque (un) est décroissante est minorée par 0  donc  (un) est convergente

f(un) = un+1   et f est continue sur [0 ; 1]  donc  f(l) = l

  l = l²

⇔ l² - l = 0

⇔ l(l - 1) = 0  DONC   l = 0

limun = 0

Merci

Explications étape par étape :