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Cice: (4 points)
définit une fonction f sur R par: f(x) = cos x
-√3 sin x.
Montrer que, pour tout réel x, on a f(x) = 2 cos(x + π/3)
) En déduire :
a) la résolution dans R de l'équation: cos (3x) - √3 sin (3x) = √3
b) la résolution dans [0, 2π[ de l'inéquation: f(x) ≥ -√2.
​solution

Sagot :

Aliop

Réponse :

1) On a

[tex]2cos(x+\frac{\pi }{3})=[/tex] [tex]2(cos(x)cos(\pi /3)-sin(x)sin(\frac{\pi }{3} ))[/tex](

= [tex]2(\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3} }{2} sinx)[/tex]

=[tex]cosx-\sqrt{3}sinx[/tex]

=f(x)

2)

a)

[tex]cos(3x)-\sqrt{3}sin(3x)=\sqrt{3}[/tex]

⇔[tex]f(3x)=\sqrt{3}[/tex]

⇔[tex]2(cos(3x+\frac{\pi }{3} ))=\sqrt{3}[/tex]

⇔[tex]cos(3x+\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

⇔[tex]3x+\frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}[2\pi][/tex] ou [tex]3x+\frac{\pi }{3}= -\frac{\pi }{6}[2\pi ][/tex]

⇔

[tex]x=\frac{-\pi }{18}[2\pi ][/tex] ou [tex]x=-\frac{\pi }{6}[2\pi ][/tex]

b)

[tex]f(x)\geq -\sqrt{2}[/tex]

⇔[tex]2(cos(x+\frac{\pi }{3})\geq -\sqrt{2}[/tex]

⇔[tex]cos(x+\frac{\pi }{3})\geq -\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex] car 2>0

⇔ [tex]0\leq x+\frac{\pi }{3} \leq \frac{3\pi }{4}[/tex]  et  [tex]\frac{5\pi }{4}\leq x+\frac{\pi }{3} \leq 2\pi[/tex]

⇔[tex]-\frac{\pi }{3}\leq x\leq \frac{5\pi }{12}[/tex]  et  [tex]\frac{11\pi }{12}\leq x \leq \frac{5\pi }{3}[/tex]

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