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Soit R une relation définie sur R par: Ry x²- y² = x - y.
(a) Montrer que R est une relation d'équivalence.​

Sagot :

Aliop

Réponse :

Il faut montrer que la relation est  réflexive, symétrique et transitive.

On a xRx <=> [tex]x^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=x-x ; la relation est réflexive

On a  [tex]x^{2}[/tex]-[tex]y^{2}[/tex]=x-y donc [tex]y^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=y-x

<=> xRy=>yRx ; la relation est symétrique

On a  xRy <=>  [tex]x^{2} -y^{2}[/tex]=x-y

et yRz <=> [tex]y^{2}-z^{2}[/tex]=y-z

donc xRz<=> [tex]x^{2} -z^{2}=x-z[/tex] ; la relation est transitive

La relation est réflexive, symétrique et transitive, c'est donc une relation d'équivalence.

Iucette

Bonjour,

Réponse :

Pour montrer que [tex]R[/tex] définie par [tex]x \sim y \iff x^2 -y^2 = x - y[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex], il faut démontrer qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.

Réflexivité

▪ Une relation [tex]R[/tex] est réflexive si [tex]x \sim x[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

Pour [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :

[tex]x^2 - x^2 = x - x\\\\0 = 0[/tex]

Ce qui est vrai. Donc, [tex]x \sim x[/tex].

→ Donc [tex]R[/tex] est réflexive.

Symétrie

▪ Une relation [tex]R[/tex] est symétrique si [tex]x \sim y[/tex] implique [tex]y \sim x[/tex].

Supposons [tex]x \sim y[/tex], c'est-à-dire :

[tex]x^2 - y^2 = x - y[/tex]

On doit montrer que [tex]y \sim x[/tex], c'est-à-dire :

[tex]y^2 - x^2 = y - x[/tex]

Remarquons que :

[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\ -(y^2 - x^2) = -(y - x)\\\\y^2 - x^2 = y - x[/tex]

Donc, [tex]y \sim x[/tex].

→ Donc, [tex]R[/tex] est symétrique.

Transitivité

▪ Une relation [tex]R[/tex] est transitive si [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex] impliquent [tex]x \sim z[/tex].

Supposons [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex]. Cela signifie :

[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\y^2 - z^2 = y - z[/tex]

On veut montrer que [tex]x \sim z[/tex], c'est-à-dire :

[tex]x^2 - z^2 = x - y[/tex]

Ajoutons les deux équations :

[tex](x^2 - y^2) + (y^2 - z^2) = (x - y) + (y - z)\\\\x^2 - z^2 = x - z[/tex]

Donc, [tex]x \sim z[/tex].

→  Donc, [tex]R[/tex] est transitive.

Conclusion :

Puisque [tex]R[/tex] est réflexive, symétrique et transitive, [tex]R[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

Bonne journée !

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