Answered

Bienvenue sur Laurentvidal.fr, la meilleure plateforme de questions-réponses pour trouver des réponses précises et rapides à toutes vos questions. Connectez-vous avec des professionnels sur notre plateforme pour recevoir des réponses précises à vos questions de manière rapide et efficace. Notre plateforme offre une expérience continue pour trouver des réponses fiables grâce à un réseau de professionnels expérimentés.

Soit R une relation définie sur R par: Ry x²- y² = x - y.
(a) Montrer que R est une relation d'équivalence.​

Sagot :

Aliop

Réponse :

Il faut montrer que la relation est  réflexive, symétrique et transitive.

On a xRx <=> [tex]x^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=x-x ; la relation est réflexive

On a  [tex]x^{2}[/tex]-[tex]y^{2}[/tex]=x-y donc [tex]y^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=y-x

<=> xRy=>yRx ; la relation est symétrique

On a  xRy <=>  [tex]x^{2} -y^{2}[/tex]=x-y

et yRz <=> [tex]y^{2}-z^{2}[/tex]=y-z

donc xRz<=> [tex]x^{2} -z^{2}=x-z[/tex] ; la relation est transitive

La relation est réflexive, symétrique et transitive, c'est donc une relation d'équivalence.

Iucette

Bonjour,

Réponse :

Pour montrer que [tex]R[/tex] définie par [tex]x \sim y \iff x^2 -y^2 = x - y[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex], il faut démontrer qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.

Réflexivité

▪ Une relation [tex]R[/tex] est réflexive si [tex]x \sim x[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

Pour [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :

[tex]x^2 - x^2 = x - x\\\\0 = 0[/tex]

Ce qui est vrai. Donc, [tex]x \sim x[/tex].

→ Donc [tex]R[/tex] est réflexive.

Symétrie

▪ Une relation [tex]R[/tex] est symétrique si [tex]x \sim y[/tex] implique [tex]y \sim x[/tex].

Supposons [tex]x \sim y[/tex], c'est-à-dire :

[tex]x^2 - y^2 = x - y[/tex]

On doit montrer que [tex]y \sim x[/tex], c'est-à-dire :

[tex]y^2 - x^2 = y - x[/tex]

Remarquons que :

[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\ -(y^2 - x^2) = -(y - x)\\\\y^2 - x^2 = y - x[/tex]

Donc, [tex]y \sim x[/tex].

→ Donc, [tex]R[/tex] est symétrique.

Transitivité

▪ Une relation [tex]R[/tex] est transitive si [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex] impliquent [tex]x \sim z[/tex].

Supposons [tex]x \sim y[/tex] et [tex]y \sim z[/tex]. Cela signifie :

[tex]x^2 - y^2 = x - y\\\\y^2 - z^2 = y - z[/tex]

On veut montrer que [tex]x \sim z[/tex], c'est-à-dire :

[tex]x^2 - z^2 = x - y[/tex]

Ajoutons les deux équations :

[tex](x^2 - y^2) + (y^2 - z^2) = (x - y) + (y - z)\\\\x^2 - z^2 = x - z[/tex]

Donc, [tex]x \sim z[/tex].

→  Donc, [tex]R[/tex] est transitive.

Conclusion :

Puisque [tex]R[/tex] est réflexive, symétrique et transitive, [tex]R[/tex] est une relation d'équivalence sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

Bonne journée !

Merci de votre passage. Nous nous efforçons de fournir les meilleures réponses à toutes vos questions. À la prochaine. Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de connaissances et de réponses de nos experts.