Réponse :
Explications étape par étape :
1)
a ∈ ]0;1[ ⇔ 0 < a < 1
de même 0 < b < 1
0 < a < 1 ⇔ 0> -a > -1
⇔ 1>1 -a > 0
1-a est positif
de même 0 < b < 1
⇔ 1>1 -b > 0
1-b est positif
Finalement, le produit de 2 nombres positifs est positif
(1-a)(1-b) est donc positif
2)
1/a +1/b = b/ab + a/ab
= (a+b)/ab
1+1/ab = ab/ab +1/ab
= (ab+1)/ab
Comparer 1/a +1/b et 1+1/ab , c'est comparer a+b avec 1+ab
exemples :
a=b=0.9 ; a+b=1.8 ; 1+ab = 1+0.81 = 1.81 donc a+b < 1 +ab
a=b=0.1 ; a+b=0.2 ; 1+ab = 1+0.01 = 1.01 donc a+b < 1 +ab
Posons a+b < 1+ab, et vérifions cette hypothèse
a < 1+ab -b
0< 1+ab -b-a
factoriser :
0 < 1-b + a(b-1)
0 < (1-b) - a(1-b)
0 < (1-b) (1- a)
a et b sont inférieurs à 1 ; donc 1-b et 1-a sont posiitifs. Dès lors, leur produit est positif
En résumé :
0 < (1-b) (1- a) vraie ⇔ a+b < 1+ab vraie
⇔ 1/a +1/b < 1+1/ab est vraie
