Pour résoudre ce problème, nous devons écrire les expressions des aires des rectangles gris et blanc, puis établir une équation pour déterminer la valeur de \( x \) telle que l'aire du rectangle blanc soit le double de celle du rectangle gris. Ensuite, nous vérifierons si \( x = 20 \) est une solution et examinerons le cas où \( x = 30 \).
### 1. Écrire les expressions des aires des rectangles
#### a) L'aire du rectangle gris
Les dimensions du rectangle gris sont \( x \) mètres et \( 25 \) mètres.
\[ \text{Aire du rectangle gris} = x \times 25 = 25x \, \text{m}^2 \]
#### b) L'aire du rectangle blanc
Les dimensions du rectangle blanc sont \( (60 - x) \) mètres et \( 25 \) mètres.
\[ \text{Aire du rectangle blanc} = (60 - x) \times 25 = 25(60 - x) \, \text{m}^2 \]
#### c) Une équation pour déterminer \( x \) pour que l'aire du rectangle blanc soit le double de celle du rectangle gris
Nous voulons que l'aire du rectangle blanc soit le double de celle du rectangle gris :
\[ \text{Aire du rectangle blanc} = 2 \times \text{Aire du rectangle gris} \]
\[ 25(60 - x) = 2 \times 25x \]
\[ 25(60 - x) = 50x \]
Simplifions cette équation :
\[ 25 \times 60 - 25x = 50x \]
\[ 1500 - 25x = 50x \]
\[ 1500 = 75x \]
\[ x = \frac{1500}{75} \]
\[ x = 20 \]
### 2. Vérifier que \( x = 20 \) est une solution de cette équation
Substituons \( x = 20 \) dans les expressions des aires des rectangles pour vérifier :
Aire du rectangle gris :
\[ 25x = 25 \times 20 = 500 \, \text{m}^2 \]
Aire du rectangle blanc :
\[ 25(60 - x) = 25(60 - 20) = 25 \times 40 = 1000 \, \text{m}^2 \]
Vérifions si l'aire du rectangle blanc est le double de celle du rectangle gris :
\[ 1000 \, \text{m}^2 = 2 \times 500 \, \text{m}^2 \]
\[ 1000 = 1000 \]
Donc, \( x = 20 \) est bien une solution de cette équation.
### 3. Que se passe-t-il si \( x = 30 \) ?
Calculons les aires pour \( x = 30 \) :
Aire du rectangle gris :
\[ 25x = 25 \times 30 = 750 \, \text{m}^2 \]
Aire du rectangle blanc :
\[ 25(60 - x) = 25(60 - 30) = 25 \times 30 = 750 \, \text{m}^2 \]
Vérifions la relation entre les aires :
\[ \text{Aire du rectangle blanc} \neq 2 \times \text{Aire du rectangle gris} \]
\[ 750 \, \text{m}^2 \neq 2 \times 750 \, \text{m}^2 \]
\[ 750 \neq 1500 \]
Donc, si \( x = 30 \), l'aire du rectangle blanc n'est pas le double de celle du rectangle gris, mais les deux aires sont égales.
### Résumé
1. Les expressions des aires sont :
- Aire du rectangle gris : \( 25x \, \text{m}^2 \)
- Aire du rectangle blanc : \( 25(60 - x) \, \text{m}^2 \)
2. L'équation permettant de déterminer \( x \) pour que l'aire du rectangle blanc soit le double de celle du rectangle gris est :
\[ 25(60 - x) = 50x \]
La solution est \( x = 20 \).
3. Si \( x = 30 \), les aires des deux rectangles sont égales à \( 750 \, \text{m}^2 \), donc l'aire du rectangle blanc n'est pas le double de celle du rectangle gris.
