Exercice 4.
Soient f une fonction de classe C+1 ([a, b]) et P, le polynôme d'interpolation de
20,,, avec a ≤ xo << In b.
1. Montrer l'expression de l'erreur en(x) = f(x) - Pn(x).
2. On s'intéresse dans la suite à l'erreur commise lorsqu'on approxime f'(x) par
Soit i E {xo,,xn} fixé. Déterminer c ER de sorte que le polynôme Qn+
n
défini par Vx € [a, b] Qn+1(x) = P(x)+(x-x) vérifie Qn+1(1) = ♬
3. On pose g(x) = f(x) - Qn+1(x)
j=0
(a) Montrer g' s'annule en n + 1 points distincts.
(b) Montrer g(n+1) s'annule en un point de ]a, b[.
(c) En déduire qu'il existe & Ela, b[ tel que
n
f(n+1)(x)
f'(x) P(x) =
====
(n + 1)!
II (x-x1)
j=0,ji
Résolu ​