a) Pour déterminer la primitive G de g nulle en 2, on intègre g(x) = x - 3 par rapport à x :
∫(x - 3)dx = (1/2)x² - 3x + C
Pour que G soit nulle en 2, on résout G(2) = 0 :
(1/2)(2)² - 3(2) + C = 0
2 - 6 + C = 0
C = 4
Donc, G(x) = (1/2)x² - 3x + 4.
b) Pour calculer h(x) = f(x) - g(x), on remplace f(x) et g(x) dans l'expression :
h(x) = f(x) - g(x) = x³ - 5x² + 7x - 2(x - 1)² - (x - 3)
= x³ - 5x² + 7x - 2(x² - 2x + 1) - x + 3
= x³ - 5x² + 7x - 2x² + 4x - 2 - x + 3
= x³ - 7x² + 11x + 1
c) La dérivée de la fonction H(x) = x⁰ est simplement H'(x) = 0.
d) Pour déterminer la primitive H de h sur I tel que H(2) = -1, on intègre h(x) par rapport à x :
∫(x³ - 7x² + 11x + 1)dx = (1/4)x⁴ - (7/3)x³ + (11/2)x² + x + C
En utilisant H(2) = -1 :
(1/4)(2)⁴ - (7/3)(2)³ + (11/2)(2)² + 2 + C = -1
4 - (56/3) + 22 + 2 + C = -1
C = -1 - 4 + (56/3) - 22 - 2
C = -29/3
Donc, H(x) = (1/4)x⁴ - (7/3)x³ + (11/2)x² + x - 29/3.
e) Montrons que F(x) = H(x) + G(x) est la primitive de f sur I valant 1 en x = 2 :
F'(x) = H'(x) + G'(x) = h(x) + g(x) = f(x)
Et F(2) = H(2) + G(2) = -1 + 0 = -1
Ainsi, la fonction F(x) = H(x) + G(x) est bien la primitive de f sur I valant 1 en x = 2.
