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Une solution contient initialement 5 millions de bactéries par millilitre (mL). Toutes les 10 minutes, la concentration en bactéries de cette solution augmente de 16%. Pour tout entier naturel n, on pose c(n), la concentration en bactéries en millions par mL au bout de n dizaines de minutes.
1) Déterminer C(0). C(1) et c(2).
2) Quelle est la nature de la suite (cn)? En préciser le premier terme et la raison.
3) Exprimer c(n), en fonction de n.
4) Quel est le sens de variation de la suite (cn)? Justifier.
5) Calculer les 11 premiers termes de cette suite (arrondir les résultats au centième).
6) Déterminer au bout de combien de dizaines de minutes la concentration en bactéries dépasse 15 millions par mL.
7) Déterminer un encadrement de la concentration en bactéries (en millions par mL) au bout de 85 minutes.
Merci

Sagot :

Réponse:

1)

- \( C(0) \) représente la concentration initiale en bactéries, donc \( C(0) = 5 \) millions/mL.

- Pour \( C(1) \), la concentration après 10 minutes, on augmente de 16% à partir de \( C(0) \). Donc \( C(1) = 5 \times (1 + 0,16) = 5,8 \) millions/mL.

- Pour \( C(2) \), la concentration après 20 minutes, on augmente de nouveau de 16% à partir de \( C(1) \). Donc \( C(2) = 5,8 \times (1 + 0,16) = 6,728 \) millions/mL.

2) La suite \( (c_n) \) est une suite géométrique, car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante. Le premier terme est \( C(0) = 5 \) millions/mL et la raison est \( 1 + 0,16 = 1,16 \).

3) \( c(n) = 5 \times (1,16)^n \).

4) La suite \( (c_n) \) est croissante car la raison est supérieure à 1. À chaque terme, on multiplie par un nombre supérieur à 1, ce qui entraîne une augmentation de la concentration en bactéries.

5) Calcul des 11 premiers termes de la suite :

\[

\begin{align*}

c(0) & = 5 \\

c(1) & = 5 \times 1,16 = 5,8 \\

c(2) & = 5 \times (1,16)^2 = 6,728 \\

c(3) & = 5 \times (1,16)^3 = 7,797 \\

c(4) & = 5 \times (1,16)^4 = 9,060 \\

c(5) & = 5 \times (1,16)^5 = 10,528 \\

c(6) & = 5 \times (1,16)^6 = 12,234 \\

c(7) & = 5 \times (1,16)^7 = 14,217 \\

c(8) & = 5 \times (1,16)^8 = 16,522 \\

c(9) & = 5 \times (1,16)^9 = 19,204 \\

c(10) & = 5 \times (1,16)^{10} \approx 22,327 \\

\end{align*}

\]

6) On cherche \( n \) tel que \( c(n) > 15 \). On résout donc l'inéquation :

\[

5 \times (1,16)^n > 15

\]

En isolant \( (1,16)^n > \frac{15}{5} = 3 \), on trouve \( n > \log_{1,16}(3) \). En utilisant une calculatrice, \( \log_{1,16}(3) \approx 5,68 \). Donc \( n \geq 6 \).

La concentration dépasse donc 15 millions/mL après 60 minutes.

7) Au bout de 85 minutes, on a \( n = \frac{85}{10} = 8,5 \). Donc \( c(8) \) est une borne inférieure et \( c(9) \) est une borne supérieure.

\[

\begin{align*}

c(8) & = 5 \times (1,16)^8 \approx 16,522 \\

c(9) & = 5 \times (1,16)^9 \approx 19,204 \\

\end{align*}

\]

Donc la concentration en bactéries est comprise entre environ 16,52 et 19,20 millions/mL.

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