Bonjour,
1) on a f(0) = [tex]\frac{120e^0}{e^0+3} =\frac{120}{4}= 30[/tex] cm
2) Formule du cours à connaitre :
[tex]\boxed{f'(\frac{u}{v})=\frac{u'v-uv'}{v^2}}[/tex]
Ici on a [tex]u = 120e^t \ \ \ \ \ \ \ \ \ u'=120e^t[/tex]
[tex]v = e^t+3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ v'=e^t[/tex]
Application numérique :
[tex]f'(t) = \frac{120e^t \times (e^t+3)-120e^t \times e^t}{(e^t+3)^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(t) = \frac{120e^{2t}+360e^t-120e^{2t}}{(e^t+3)^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(t) = \frac{360e^t}{(e^t+3)^2}[/tex]
3) On a ([tex]e^t +3[/tex])² > 0 puisque un carré est toujours positif ou nul et que e^t > 0
on a [tex]360e^t[/tex] > puisque e^t > 0
Donc comme f'(x) > 0 alors f est croissante sur [0 ; +∞ [
4) On sait que 1 m = 100 cm
On pose et on résout l'équation :
[tex]\frac{120e^t}{e^t+3} = 100[/tex] [tex]\Leftrightarrow 120e^t = 100(e^t + 3) \Leftrightarrow 120e^t = 100e^t + 300[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 20e^t = 300[/tex]
[tex]\Leftrightarrow e^t = \frac{300}{20} = 15[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ln(e^t) = t = ln(15)[/tex]
Or ln(15) ≈ 2,708 ⇒ donc au bout de 3 mois
