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Sagot :
Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les principes de la mécanique classique, en particulier la conservation de l'énergie et le travail des forces.
### Données:
- Masse du solide, \( m = 0.5 \, \text{kg} \)
- Vitesse initiale au point A, \( v_A = 4 \, \text{m/s} \)
- Angle d'inclinaison du plan, \( \theta = 30^\circ \)
- Intensité de la force de frottement, \( f = 0.2 \, \text{N} \)
- Longueur du plan incliné, \( AB = 1 \, \text{m} \)
- Accélération due à la gravité, \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
### Objectif:
Trouver la vitesse \( v_B \) du solide au point B.
### Étapes de la solution:
1. **Calcul de la composante de la force de gravité le long du plan incliné**:
La composante de la force de gravité le long du plan incliné est donnée par \( F_g = mg \sin(\theta) \).
2. **Calcul du travail de la force de frottement**:
Le travail \( W_f \) de la force de frottement \( f \) est donné par \( W_f = f \cdot d \), où \( d = AB \).
3. **Utilisation du théorème de l'énergie cinétique**:
Le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation de l'énergie cinétique est égale au travail des forces appliquées :
\[
\Delta E_c = W_{tot}
\]
où \( W_{tot} \) est la somme des travaux des forces appliquées (force de gravité et frottement).
### Calcul détaillé:
1. **Composante de la force de gravité le long du plan**:
\[
F_g = mg \sin(\theta) = 0.5 \times 9.81 \times \sin(30^\circ) = 0.5 \times 9.81 \times 0.5 = 2.4525 \, \text{N}
\]
2. **Travail de la force de frottement**:
\[
W_f = f \cdot d = 0.2 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 0.2 \, \text{J}
\]
3. **Travail de la force de gravité le long du plan**:
\[
W_g = F_g \cdot d = 2.4525 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 2.4525 \, \text{J}
\]
4. **Travail total**:
\[
W_{tot} = W_g - W_f = 2.4525 \, \text{J} - 0.2 \, \text{J} = 2.2525 \, \text{J}
\]
5. **Variation de l'énergie cinétique**:
\[
\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{tot}
\]
L'énergie cinétique au point A est:
\[
E_{cA} = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 = 4 \, \text{J}
\]
L'énergie cinétique au point B est:
\[
E_{cB} = E_{cA} + W_{tot} = 4 \, \text{J} + 2.2525 \, \text{J} = 6.2525 \, \text{J}
\]
6. **Calcul de la vitesse au point B**:
\[
E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2 \Rightarrow 6.2525 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v_B^2
\]
\[
6.2525 = 0.25 v_B^2 \Rightarrow v_B^2 = \frac{6.2525}{0.25} = 25.01
\]
\[
v_B = \sqrt{25.01} \approx 5.00 \, \text{m/s}
\]
### Conclusion:
La vitesse du solide au point B est approximativement \( v_B \approx 5.00 \, \text{m/s} \).
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