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Un solide supposé ponctuel de masse m=0,5kg est lancé a partir d’un point A avec une vitesse VA= 4m/s sur un plan AB incliné d’un angle =30 degrés avec l’horizontal passant par A . Sur AB , le solide (S) est soumis a une force de frottement f supposé constante . D’intensité f=0,2N. On donne AB = 1m
1) calculer la vitesse Vb du solide (S) au point B

Sagot :

Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les principes de la mécanique classique, en particulier la conservation de l'énergie et le travail des forces.

### Données:

- Masse du solide, \( m = 0.5 \, \text{kg} \)

- Vitesse initiale au point A, \( v_A = 4 \, \text{m/s} \)

- Angle d'inclinaison du plan, \( \theta = 30^\circ \)

- Intensité de la force de frottement, \( f = 0.2 \, \text{N} \)

- Longueur du plan incliné, \( AB = 1 \, \text{m} \)

- Accélération due à la gravité, \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)

### Objectif:

Trouver la vitesse \( v_B \) du solide au point B.

### Étapes de la solution:

1. **Calcul de la composante de la force de gravité le long du plan incliné**:

La composante de la force de gravité le long du plan incliné est donnée par \( F_g = mg \sin(\theta) \).

2. **Calcul du travail de la force de frottement**:

Le travail \( W_f \) de la force de frottement \( f \) est donné par \( W_f = f \cdot d \), où \( d = AB \).

3. **Utilisation du théorème de l'énergie cinétique**:

Le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation de l'énergie cinétique est égale au travail des forces appliquées :

\[

\Delta E_c = W_{tot}

\]

où \( W_{tot} \) est la somme des travaux des forces appliquées (force de gravité et frottement).

### Calcul détaillé:

1. **Composante de la force de gravité le long du plan**:

\[

F_g = mg \sin(\theta) = 0.5 \times 9.81 \times \sin(30^\circ) = 0.5 \times 9.81 \times 0.5 = 2.4525 \, \text{N}

\]

2. **Travail de la force de frottement**:

\[

W_f = f \cdot d = 0.2 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 0.2 \, \text{J}

\]

3. **Travail de la force de gravité le long du plan**:

\[

W_g = F_g \cdot d = 2.4525 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 2.4525 \, \text{J}

\]

4. **Travail total**:

\[

W_{tot} = W_g - W_f = 2.4525 \, \text{J} - 0.2 \, \text{J} = 2.2525 \, \text{J}

\]

5. **Variation de l'énergie cinétique**:

\[

\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{tot}

\]

L'énergie cinétique au point A est:

\[

E_{cA} = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 4^2 = 4 \, \text{J}

\]

L'énergie cinétique au point B est:

\[

E_{cB} = E_{cA} + W_{tot} = 4 \, \text{J} + 2.2525 \, \text{J} = 6.2525 \, \text{J}

\]

6. **Calcul de la vitesse au point B**:

\[

E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2 \Rightarrow 6.2525 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v_B^2

\]

\[

6.2525 = 0.25 v_B^2 \Rightarrow v_B^2 = \frac{6.2525}{0.25} = 25.01

\]

\[

v_B = \sqrt{25.01} \approx 5.00 \, \text{m/s}

\]

### Conclusion:

La vitesse du solide au point B est approximativement \( v_B \approx 5.00 \, \text{m/s} \).

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