Bonjour ,
1)
a)
Tu rentres les fcts dans ta calculatrice où tu fais le calcul " à la main".
f(3)=g(3)=1
b)
f-g=-2x²+8x-5-[(2x-4)/(x-1)]
On réduit au même dénominateur :
f-g=[(-2x²+8x-5)(x-1)-(2x-4)] / (x-1)
f-g=(-2x³+2x²+8x²-8x-5x+5-2x+4) / (x-1)
f-g=(-2x³+10x²-15x+9)/(x-1)
On développe le numérateur de ce qui est donné :
(x-3)(-2x²+4x-3)=-2x³+4x²-3x+6x²-12x+9=-2x³+10x²-15x+9
On a donc bien :
f-g=(x-3)(-2x²+4x-3) / (x-1)
c)
Pour trouver l'abscisse du point d'intersection , on résout :
f=g soit :
f-g=0
soit :
(x-3)(-2x²+4x-3) / (x-1)=0
soit :
x-3=0 OU -2x²+4x-3=0
On a donc déjà : x=3.
On va vérifier que :
-2x²+4x-3=0
n'a pas de racines.
Δ=4²-4(-2)(-3)=-8 < 0.
Donc pas de racines.
On sait que f(3)=g(3)=1
Donc A(3;1)
2)
a)
f(x) est définie sur R.
Donc : Df=R
b)
On sait que la fct f(x)=ax²+bx+c avec a < 0 passe par un max pour x=-b/2a.
Ici :
-b/2a=-8/-4=2
Et f(2)=3
Variation :
x------>-∞........................2.......................+∞
f(x)---->............C.............3...........D........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
3)
a)
Cf est une parabole de sommet S(2;3) , d'axe de symétrie x=2.
On résout ensuite f(x)=0.
-2x²+8x-5=0
Δ=8²-4(-2)(-5)=24
√24=√(4*6)=2√6
x₁=(-8+2√6)/-4=(-4+√6)/-2=(4-√6)/2
x₂=(4+√6)/2
Point d'intersection avec axe des x :
((4-√6)/2;0) et ((4+√6)/2;0)
f(0)=-5
Point d'intersection avec axe des y :
(0;-5)
b)
Tu vas trouver :
f0)=-5 ; f(1)=1 ; f(2)=3
4)
a)
Une valeur interdite : x=1 qui annule le dénominateur.
Dg=R-{1}
b)
Je suppose que tu as vu les dérivées.
g de la forme : u/v.
u=2x-4 => u'=2
v=x-1 => v'=1
g '(x)=[2(x-1)-1(2x-4)] / (x-1)²
g '(x)=(2x-2-2x+4)/(x-1)²
g '(x)=2/(x-1)²
Donc g '(x) toujours positif.
Variation :
x------->-∞...................1..................+∞
g '(x)--->............+........||...........+..........
g(x)---->.........C...........||...........C.......
5)
a)
Cg est une hyperbole qui a une asymptote verticale d'équation :
x=1.
On pourrait montrer que Cg a une asymptote horizontale d'équation :
y=2
en montrant que :
lim [g(x)-2]=0
quand x tend vers -∞ ou +∞.
Mais tu ne sais peut-être pas faire.
b)
g(1)=3; g(0)=4 ; g(2)=0
6)
Graph joint.
7)
On cherche les valeurs de "x" pour lesquelles Cg sous Cf.
g(x) ≤ f(x) pour x ∈]1;3]
