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Exercice 1
Un laboratoire a mis au point un alcootest. On sait que 2% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état
d'ébriété. Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants:
-lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100 l'alcootest se révèle positif;
- lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100 l'alcootest se révèle négatif.
On désigne au hasard une personne contrôlée. On appelle T l'événement « le test est positif » et E l'événement a la
personne est en état d'ébriété »>
Pour les résultats on arrondira à 10 près.
1) Représenter à l'aide d'un arbre de probabilités cette situation
2) Calculer P(TOE) et P(ENT).
3) Quelle est la probabilité que la personne contrôlée ait un test positif?
4) On désigne au hasard une personne ayant eu un test positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en
état d'ébriété
5) On désigne au hasard une personne ayant reçu un test négatif. Quelle est la probabilité que cette personne ne soit
pas en état d'ébriété
?
Exercice 2

Sagot :

TheKingstar

Réponse:

salut

Explications étape par étape:

1) Représentation à l'aide d'un arbre de probabilités :

```

/\

/ \

/ \

E/ \¬E

/ \

/ \

T+ T-

```

Où E représente l'état d'ébriété, T+ le test positif et T- le test négatif. Les probabilités correspondantes sont les suivantes :

- P(E) = 0,02 (2% des personnes sont en état d'ébriété)

- P(¬E) = 0,98 (98% des personnes ne sont pas en état d'ébriété)

- P(T+|E) = 0,95 (probabilité que le test soit positif si la personne est en état d'ébriété)

- P(T-|¬E) = 0,96 (probabilité que le test soit négatif si la personne n'est pas en état d'ébriété)

Passons à la deuxième question.

2) Calcul de P(TOE) et P(ENT) :

P(TOE) = P(T+|E) * P(E) = 0,95 * 0,02 = 0,019 ≈ 0,02

P(ENT) = P(T-|¬E) * P(¬E) = 0,96 * 0,98 = 0,9408 ≈ 0,94

Continuons avec la troisième question.

3) Probabilité que la personne contrôlée ait un test positif :

Pour cela, nous devons calculer la probabilité totale d'obtenir un test positif, que ce soit en état d'ébriété ou non.

P(T) = P(TOE) + P(T¬E) = 0,02 + (1 - P(ENT)) = 0,02 + (1 - 0,94) = 0,08

Passons à la quatrième question.

4) Probabilité que la personne ayant eu un test positif soit en état d'ébriété :

Pour cela, nous allons utiliser le théorème de Bayes pour calculer la probabilité conditionnelle.

P(E|T+) = (P(T+|E) * P(E)) / P(T+) = (0,95 * 0,02) / 0,08 = 0,2375 ≈ 0,24

Enfin, traitons la dernière question.

5) Probabilité que la personne ayant reçu un test négatif ne soit pas en état d'ébriété :

De manière similaire au point précédent, nous utilisons le théorème de Bayes pour calculer cette probabilité conditionnelle.

P(¬E|T-) = (P(T-|¬E) * P(¬E)) / P(T-) = (0,96 * 0,98) / (1 - P(T+)) ≈ (0,96 * 0,98) / (1 - 0,08)

En utilisant ces calculs et les probabilités fournies dans l'énoncé, nous pouvons répondre à toutes les questions posées.

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