Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le théorème de Thalès. Nous examinerons les triangles impliqués et utiliserons les rapports de Thalès pour calculer les longueurs demandées.
### Partie a : Calcul de AM
**Identification des triangles :**
Les triangles formant une configuration de Thalès avec le côté [AM] sont les triangles \( \triangle ABD \) et \( \triangle ACM \).
**Rapports de Thalès :**
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{CM}{CD} = \frac{BM}{BD}
\]
Nous avons les longueurs suivantes :
- \( AB = 4 \) m
- \( BD = 5.2 \) m
- \( CD = 2.4 \) m
- \( BM = 3.6 \) m
En appliquant le théorème de Thalès, nous avons :
\[
\frac{AM}{4} = \frac{3.6}{5.2}
\]
**Calcul de AM :**
\[
AM = 4 \times \frac{3.6}{5.2}
\]
Calculons cela :
\[
AM = 4 \times \frac{3.6}{5.2} \approx 4 \times 0.6923 \approx 2.8 \, \text{m}
\]
### Partie b : Calcul de AN et AE
**Calcul de AN :**
Les triangles formant une configuration de Thalès avec le côté [AN] sont les triangles \( \triangle ABD \) et \( \triangle ACN \).
**Rapports de Thalès :**
\[
\frac{AN}{AB} = \frac{CN}{CD} = \frac{BN}{BD}
\]
Nous avons les longueurs suivantes :
- \( AB = 4 \) m
- \( BD = 5.2 \) m
- \( CD = 2.4 \) m
- \( BN = 4.2 \) m
En appliquant le théorème de Thalès, nous avons :
\[
\frac{AN}{4} = \frac{4.2}{5.2}
\]
**Calcul de AN :**
\[
AN = 4 \times \frac{4.2}{5.2}
\]
Calculons cela :
\[
AN = 4 \times \frac{4.2}{5.2} \approx 4 \times 0.8077 \approx 3.2 \, \text{m}
\]
**Calcul de AE :**
Les triangles formant une configuration de Thalès avec le côté [AE] sont les triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle ADE \).
**Rapports de Thalès :**
\[
\frac{AE}{AD} = \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}
\]
Nous avons les longueurs suivantes :
- \( AD = 2.4 \) m
- \( AB = 4 \) m
En appliquant le théorème de Thalès, nous avons :
\[
\frac{AE}{2.4} = \frac{2.4}{4}
\]
**Calcul de AE :**
\[
AE = 2.4 \times \frac{2.4}{4} = 2.4 \times 0.6 = 1.44 \, \text{m}
\]
### Partie c : Longueur totale des bordures extérieures
Pour calculer la longueur totale des bordures extérieures, nous devons additionner les longueurs suivantes : \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DE \), \( AE \), \( AN \) et \( AM \).
En supposant que les bordures extérieures sont \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DE \), \( AE \), \( AN \) et \( AM \), et que \( BC \) et \( DE \) sont des segments distincts, la longueur totale serait :
\[
\text{Longueur totale} = AB + BC + CD + DE + AE + AN + AM
\]
Avec les valeurs suivantes :
- \( AB = 4 \) m
- \( BC = 2.4 \) m (si \( BC = DE \))
- \( CD = 5.2 \) m
- \( DE = 2.4 \) m (si \( BC \neq DE \))
- \( AE = 1.44 \) m
- \( AN = 3.2 \) m
- \( AM = 2.8 \) m
Donc :
\[
\text{Longueur totale} = 4 + 2.4 + 5.2 + 2.4 + 1.44 + 3.2 + 2.8 \approx 21.44 \, \text{m}
\]
Ainsi, la longueur totale des bordures extérieures de l'aménagement prévu par Aline est d'environ 21.44 mètres.
