Réponse :
1. Calculer l’aire des deux quadrilatères. Quel est le paradoxe dans cette configuration ?
Figure de gauche (quadrilatère 1) :
Les côtés des carrés sont donnés en unités de 5 et 3.
Le quadrilatère est décomposé en deux triangles :
Triangle supérieur (8 x 3) divisé par 2 : 8×32=1228×3=12
Triangle inférieur (5 x 5) divisé par 2 : 5×52=12.525×5=12.5
La somme des aires des deux triangles donne l'aire totale du quadrilatère :
12+12.5=24.512+12.5=24.5
Figure de droite (quadrilatère 2) :
Le quadrilatère est reconstitué différemment avec les mêmes triangles.
Lorsqu'on mesure l'aire, nous devons vérifier les décalages et les ajouts :
Un triangle supérieur de (8 x 3) divisé par 2 : 8×32=1228×3=12
Triangle inférieur (5 x 5) divisé par 2 : 5×52=12.525×5=12.5
Ainsi, l'aire totale devrait aussi être : 12+12.5=24.512+12.5=24.5
Le paradoxe survient parce que, bien que les figures semblent identiques et composées des mêmes parties, la configuration semble créer une aire totale légèrement différente en raison de la manière dont les pièces sont assemblées. Une légère différence est causée par les angles et les points de contact non parfaits lors de la reconstitution.
2. Considérons un repère d’origine A et déterminons les coordonnées.
Points de la première figure (gauche):
Coin inférieur gauche : A(0,0)
Coin inférieur droit : B(8,0)
Coin supérieur gauche : C(0,8)
Coin supérieur droit : D(8,8)
Points intermédiaires :
Point de division du segment C−D : (8,3)
Point de division du segment A−C : (3,5)
Point de division du segment B−D : (5,5)
Points de la seconde figure (droite):
Reconstituons les segments et points :
Coin inférieur gauche : A′(0,0)
Coin supérieur droit : B′(8,0)
Point de division intermédiaire sur segment diagonal supérieur : (3,3)
Point de division intermédiaire sur segment diagonal inférieur : (5,5)
Explication du paradoxe avec des calculs :
Les coordonnées des points montrent que les segments forment des triangles dans les deux figures. Cependant, en réassemblant, les triangles peuvent créer une légère différence en raison des proportions. Par exemple, si les triangles ne se réassemblent pas parfaitement, des espaces ou des chevauchements peuvent provoquer une petite différence d'aire calculée, même si théoriquement les deux quadrilatères ont la même aire.
Conclusion:
Le paradoxe de Lewis Carroll montre comment une configuration trompeuse peut faire paraître que l'aire totale change alors qu'elle devrait rester constante. Cette illusion est due à une manipulation subtile des formes et des points de contact des segments, créant une apparente contradiction.