Réponse :
Explications étape par étape :
1) On applique la formule du taux d'accroissement entre 0 et 0+h
[tex]T(h)=\frac{k(0+h)k(0)}{h} =\frac{\sqrt{(1+h)}-1}{h}[/tex]
2)
[tex]T(h)=\frac{\sqrt{1+h}-1}{h} = \frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\[/tex]
Ici on a juste multiplier en haut et en bas par le conjugué du numerateur.
b)On a :
[tex]T(h) = \frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \frac{(\sqrt{1+h)}^2-(1^2)}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\T(h)=\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}[/tex]
3)
[tex]\lim_{h \to 0} T(h)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1 }=\frac{1}{2}[/tex]
On en deduit que k est derivable en 0 car la limite en 0 de T(h) est finie et [tex]k'(0)=\frac{1}{2}[/tex]