Answered

Laurentvidal.fr simplifie la recherche de solutions à toutes vos questions grâce à une communauté active et experte. Découvrez une mine de connaissances d'experts dans différentes disciplines sur notre plateforme de questions-réponses complète. Obtenez des réponses rapides et fiables à vos questions grâce à notre communauté dédiée d'experts sur notre plateforme.

Rappelons le problème suivant, dont la solution a été donnée dans la théorie sur la méthode Vieta jumping.

Soit a
et b
des entiers strictement positifs tels que ab
divise $a^2+b^2+1$. Prouver que $a^2+b^2+1ab=3$
.

Il est en fait possible, si l'on a bien compris la solution donnée, de trouver tous les couples (a,b)
d'entiers strictement positifs tels que ab
divise $a^2+b^2+1$. Nous ne considérons que les couples avec $a≥b$
. Notons $(a_1,b_1),(a_2,b_2),…,(a_n,b_n),…$
tous les tels couples, de sorte que $a_n≥b_n$
et $a_n+b_n≤a_{n+1}+b_{n+1}$
pour tout n
.

Que vaut $a_{15}+b_{15}$
? Répondre −1
s'il y a moins de quinze couples vérifiant l'énoncé.

On demande une réponse entière.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

Méthode de Vieta Jumping

L'idée est de considérer le couple (a,b)(a,b) qui minimise la somme a+ba+b parmi tous les couples qui satisfont l'énoncé. Supposons que ce couple soit (a15,b15)(a15​,b15​).

Ensuite, nous pouvons utiliser la méthode Vieta jumping pour montrer que ce couple doit satisfaire certaines conditions particulières.

Nous avons a152+b152+1=ka15b15a152​+b152​+1=ka15​b15​.

Considérons maintenant la somme S=a15+b15S=a15​+b15​. Supposons qu'il existe un couple (a,b)(a,b) tel que a+b<Sa+b<S et abab divise a2+b2+1a2+b2+1.

En utilisant la méthode Vieta jumping, on peut montrer que si (a,b)(a,b) est une telle paire, alors (kb−a,b)(kb−a,b) est une autre paire qui vérifie également les conditions. De plus, kb−akb−a est plus petit que aa, ce qui contredit le fait que (a,b)(a,b) minimise a+ba+b.

Cela signifie que (a15,b15)(a15​,b15​) est le plus petit couple possible, et donc a15+b15a15​+b15​ est la somme minimale parmi tous les couples satisfaisant les conditions.

Conclusion

Nous ne pouvons pas spécifier une valeur exacte pour a15+b15a15​+b15​ sans connaître les valeurs spécifiques de a15a15​ et b15b15​.

Si vous avez des valeurs spécifiques pour a15a15​ et b15b15​, je pourrais alors calculer a15+b15a15​+b15​. Sinon, nous ne pouvons que dire que a15+b15a15​+b15​ est la somme minimale parmi les quinze couples satisfaisant les conditions.

Nous espérons que nos réponses vous ont été utiles. Revenez quand vous voulez pour obtenir plus d'informations et de réponses à d'autres questions. Nous apprécions votre temps. Revenez quand vous voulez pour obtenir les informations les plus récentes et des réponses à vos questions. Laurentvidal.fr est toujours là pour fournir des réponses précises. Revenez nous voir pour les informations les plus récentes.