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79 Soit f la fonction définie par f(x) = x+2
1. Justifier que f est définie sur R.
2. a. Calculer f'(x), puis vérifier que :
-x-1
f'(x)=
e-*
b. Étudier le signe de f'(x) sur R.
e-x
c. Dresser le tableau de variations de f sur R.
3. On note & la courbe représentative de la fonction f.
a. Justifier que la tangente à la courbe & au point
d'abscisse -1 est horizontale.
b. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe
Cau point d'abscisse 0.

79 Soit F La Fonction Définie Par Fx X2 1 Justifier Que F Est Définie Sur R 2 A Calculer Fx Puis Vérifier Que X1 Fx E B Étudier Le Signe De Fx Sur R Ex C Dresse class=

Sagot :

Réponse :

79 Soit f la fonction définie par f(x) = (x+2)/eˣ

1. Justifier que f est définie sur R.

   on a  x + 2 est définie sur R  et eˣ > 0   ∀x ∈ R  donc  f est définie sur R

2. a. Calculer f'(x), puis vérifier que :

f '(x) = (-x-1)/eˣ

f est le quotient de deux fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur R et sa dérivée f '  est  :  f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = x + 2  ⇒ u'(x) = 1

v(x) = eˣ   ⇒ v'(x) =  eˣ

f '(x) = [1 * eˣ - (x + 2)eˣ]/(eˣ)²

       = (1 - x - 2)eˣ/e²ˣ

       = (- x - 1)/eˣ

b. Étudier le signe de f'(x) sur R.

 f '(x) = (- x - 1)/eˣ    or eˣ > 0  

donc le signe de f '(x) est du signe de - x - 1

- x - 1 ≥ 0  ⇔  - x ≥ 1   ⇔ x ≤ - 1   ⇒ f '(x) ≥ 0 sur ]- ∞ ; - 1]

et  f '(x) ≤ 0 sur  [- 1 ; + ∞[

c. Dresser le tableau de variations de f sur R.

        x       - ∞                          - 1                        + ∞

      f '(x)                     +              0            -

      f(x)      - ∞→→→→→→→→→→→→  e →→→→→→→→→→→ 0

                        croissante               décroissante

3. On note & la courbe représentative de la fonction f.

a. Justifier que la tangente à la courbe & au point

d'abscisse -1 est horizontale.

f '(- 1) = (- (- 1) - 1)/e⁻¹

        = (1 - 1)/e⁻¹

        = 0

Donc  la tangente à C au point d'abscisse - 1 est bien horizontal

b. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe

Cau point d'abscisse 0.

 f(0) = (0 + 2)/e⁰ = 2

 f '(0) = (- 0 - 1)/e⁰ = - 1

y = f(0) + f '(0)x

  = 2 - x

donc l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 0  est :

            y = - x + 2

Explications étape par étape :

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