Pour calculer le taux annuel d'une capitalisation d'un capital de 1 500€ pendant 120 mois (10 ans) afin de produire une valeur de 20 000€, on utilise la formule de la capitalisation composée.
La formule est :
A
=
P
×
(
1
+
r
)
n
A=P×(1+r)
n
où :
A
A est le montant final (20 000€),
P
P est le capital initial (1 500€),
r
r est le taux d'intérêt par période (que nous cherchons),
n
n est le nombre de périodes (120 mois).
Nous devons ajuster cette formule pour une période annuelle. Sachant qu'il y a 12 mois dans une année, on peut convertir le nombre de mois en années :
n
=
120
12
=
10
ans
n=
12
120
=10ans
Maintenant, on ajuste la formule pour les intérêts annuels :
20
000
=
1
500
×
(
1
+
r
)
10
20000=1500×(1+r)
10
Pour isoler
r
r, on divise les deux côtés de l'équation par 1 500 :
20
000
1
500
=
(
1
+
r
)
10
1500
20000
=(1+r)
10
Ce qui donne :
20
000
1
500
=
200
15
≈
13.3333
1500
20000
=
15
200
≈13.3333
Donc :
13.3333
=
(
1
+
r
)
10
13.3333=(1+r)
10
Pour trouver
r
r, on prend la dixième racine des deux côtés :
1
+
r
=
13.3333
10
1+r=
10
13.3333
Calculons cette dixième racine :
13.3333
10
≈
1.3435
10
13.3333
≈1.3435
Ensuite, on soustrait 1 pour isoler
r
r :
r
≈
1.3435
−
1
≈
0.3435
r≈1.3435−1≈0.3435
Pour exprimer le taux annuel en pourcentage, on multiplie par 100 :
r
≈
0.3435
×
100
≈
34.35
%
r≈0.3435×100≈34.35%
Donc, le taux annuel nécessaire pour capitaliser 1 500€ à 20 000€ en 10 ans est d'environ 34.35%.
