Réponse:
Pour déterminer le type de figure formée par trois longueurs données (triangle, points alignés ou aucune figure), nous devons vérifier si ces longueurs respectent l'inégalité triangulaire. Cette inégalité stipule que pour former un triangle, la somme de deux côtés quelconques doit toujours être supérieure au troisième côté.
### 1) Vérification des inégalités triangulaires
#### a) AB = 9 cm, BC = 6,3 cm et AC = 3,7 cm
Vérifions les inégalités triangulaires :
- \( AB + BC = 9 + 6,3 = 15,3 \) cm > \( AC = 3,7 \) cm
- \( AB + AC = 9 + 3,7 = 12,7 \) cm > \( BC = 6,3 \) cm
- \( BC + AC = 6,3 + 3,7 = 10 \) cm > \( AB = 9 \) cm
Toutes les inégalités sont respectées. Donc, les trois longueurs peuvent former un triangle.
#### b) DE = 3 cm, EF = 5,9 cm et DF = 2,1 cm
Vérifions les inégalités triangulaires :
- \( DE + EF = 3 + 5,9 = 8,9 \) cm > \( DF = 2,1 \) cm
- \( DE + DF = 3 + 2,1 = 5,1 \) cm < \( EF = 5,9 \) cm
- \( EF + DF = 5,9 + 2,1 = 8 \) cm > \( DE = 3 \) cm
L'inégalité \( DE + DF < EF \) n'est pas respectée. Donc, les trois longueurs ne peuvent pas former un triangle. Les points sont alignés ou ne forment aucune figure fermée.
#### c) GH = 5 cm, HI = 0,68 dm (6,8 cm) et GI = 79 mm (7,9 cm)
Vérifions les inégalités triangulaires :
- \( GH + HI = 5 + 6,8 = 11,8 \) cm > \( GI = 7,9 \) cm
- \( GH + GI = 5 + 7,9 = 12,9 \) cm > \( HI = 6,8 \) cm
- \( HI + GI = 6,8 + 7,9 = 14,7 \) cm > \( GH = 5 \) cm
Toutes les inégalités sont respectées. Donc, les trois longueurs peuvent former un triangle.
### 2) Construction des figures
#### a) Construction du triangle avec AB = 9 cm, BC = 6,3 cm et AC = 3,7 cm
1. Tracez un segment \( AB = 9 \) cm.
2. À partir du point B, tracez un arc de cercle de rayon \( 6,3 \) cm.
3. À partir du point A, tracez un arc de cercle de rayon \( 3,7 \) cm.
4. Le point d'intersection des deux arcs de cercle est le point C.
5. Reliez les points A, B, et C pour former le triangle.
#### b) Les longueurs DE = 3 cm, EF = 5,9 cm et DF = 2,1 cm ne permettent pas de former un triangle. Aucune construction n'est possible.
#### c) Construction du triangle avec GH = 5 cm, HI = 0,68 dm (6,8 cm) et GI = 79 mm (7,9 cm)
1. Tracez un segment \( GH = 5 \) cm.
2. À partir du point H, tracez un arc de cercle de rayon \( 6,8 \) cm.
3. À partir du point G, tracez un arc de cercle de rayon \( 7,9 \) cm.
4. Le point d'intersection des deux arcs de cercle est le point I.
5. Reliez les points G, H, et I pour former le triangle.
En résumé, les cas a) et c) forment des triangles tandis que le cas b) ne forme pas de triangle.